Най-важното от урока
Обикновени дроби: За събиране и изваждане - общ знаменател (\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\)). За умножение - числител по числител, знаменател по знаменател. За деление - умножаваме по реципрочната.
Десетични дроби: При събиране/изваждане подравняваме запетаите. При умножение броим десетичните знаци. При деление правим делителя цяло число.
Лица на фигури: Триъгълник \(S=\frac{a \cdot h_a}{2}\), Успоредник \(S=a \cdot h_a\), Трапец \(S=\frac{(a+b)h}{2}\).
Обем на тела: Куб \(V=a^3\), Правоъгълен паралелепипед \(V=a \cdot b \cdot c\).
Десетични дроби: При събиране/изваждане подравняваме запетаите. При умножение броим десетичните знаци. При деление правим делителя цяло число.
Лица на фигури: Триъгълник \(S=\frac{a \cdot h_a}{2}\), Успоредник \(S=a \cdot h_a\), Трапец \(S=\frac{(a+b)h}{2}\).
Обем на тела: Куб \(V=a^3\), Правоъгълен паралелепипед \(V=a \cdot b \cdot c\).
Ако умножим или разделим числителя и знаменателя на една дроб с едно и също число (различно от нула), получаваме дроб, равна на дадената.
\[ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \quad (\text{разширяване}) \quad \text{и} \quad \frac{a}{b} = \frac{a : m}{b : m} \quad (\text{съкращаване}) \]
Разширяване: \( \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} \)
Съкращаване: \( \frac{12}{18} = \frac{12:6}{18:6} = \frac{2}{3} \)
Съкращаване: \( \frac{12}{18} = \frac{12:6}{18:6} = \frac{2}{3} \)
Съкратете дробта \( \frac{15}{25} \).
Най-големият общ делител на 15 и 25 е 5.
\[ \frac{15:5}{25:5} = \frac{3}{5} \]
С еднакви знаменатели: по-голяма е дробта с по-голям числител. Пример: \( \frac{5}{7} > \frac{3}{7} \).
С еднакви числители: по-голяма е дробта с по-малък знаменател. Пример: \( \frac{2}{5} > \frac{2}{9} \).
С различни числители и знаменатели: привеждаме ги към най-малък общ знаменател (НОЗ) и тогава ги сравняваме.
За да сравним \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{3}{4} \), намираме НОЗ(3, 4) = 12.
\( \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \) и \( \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \).
Тъй като \( 8 < 9 \), то \( \frac{8}{12} < \frac{9}{12} \), следователно \( \frac{2}{3} < \frac{3}{4} \).
\( \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \) и \( \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \).
Тъй като \( 8 < 9 \), то \( \frac{8}{12} < \frac{9}{12} \), следователно \( \frac{2}{3} < \frac{3}{4} \).
Сравнете дробите \( \frac{3}{5} \) и \( \frac{4}{7} \).
НОЗ(5, 7) = 35.
\( \frac{3}{5} = \frac{21}{35} \) и \( \frac{4}{7} = \frac{20}{35} \).
Тъй като \( 21 > 20 \), следва, че \( \frac{3}{5} > \frac{4}{7} \).
\( \frac{3}{5} = \frac{21}{35} \) и \( \frac{4}{7} = \frac{20}{35} \).
Тъй като \( 21 > 20 \), следва, че \( \frac{3}{5} > \frac{4}{7} \).
Събиране/Изваждане: Дробите се привеждат към общ знаменател, след което числителите им се събират/изваждат.
\[ \frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15} \]
Умножение: Умножават се числител с числител и знаменател със знаменател.
\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 7} = \frac{8}{21} \]
Деление: Първата дроб се умножава с реципрочната на втората.
\[ \frac{3}{4} : \frac{5}{7} = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{21}{20} \]
При работа със смесени числа или десетични дроби, най-често е най-удобно всички да се превърнат в обикновени дроби. \( 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} \); \( 1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} \).
Пресметнете \( (\frac{5}{6} - \frac{1}{3}) : \frac{1}{2} \).
Първо действието в скобите: \( \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
След това делението: \( \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1 \).
След това делението: \( \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1 \).
Събиране/Изваждане: Записват се една под друга, така че десетичните запетаи да са в една колона. Пример: \(5,60 + 12,83 = 18,43\).
Умножение: Умножават се като естествени числа, след което в резултата се отделят толкова десетични знака, колкото е сборът им в множителите. Пример: \(2,5 \cdot 0,3\). \(25 \cdot 3 = 75\). Общо \(1+1=2\) знака. Резултат: \(0,75\).
Деление: Делителят се превръща в цяло число чрез преместване на запетаята надясно. Със същия брой места се мести и запетаята на делимото. Пример: \(8,52 : 1,2 = 85,2 : 12 = 7,1\).
Пресметнете \(24,5 - 3,2 \cdot 2\).
Първо умножението: \(3,2 \cdot 2 = 6,4\).
После изваждането: \(24,5 - 6,4 = 18,1\).
После изваждането: \(24,5 - 6,4 = 18,1\).
Триъгълник: \( S = \frac{\text{основа} \cdot \text{височина}}{2} = \frac{a \cdot h_a}{2} \)
(За правоъгълен: \( S = \frac{\text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2}{2} \))
(За правоъгълен: \( S = \frac{\text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2}{2} \))
Успоредник: \( S = \text{основа} \cdot \text{височина} = a \cdot h_a \)
Трапец: \( S = \frac{(\text{основа}_1 + \text{основа}_2) \cdot \text{височина}}{2} = \frac{(a+b) \cdot h}{2} \)
Намерете лицето на трапец с основи 7 cm и 9 cm, и височина 5 cm.
\[ S = \frac{(7+9) \cdot 5}{2} = \frac{16 \cdot 5}{2} = 40 \text{ cm}^2 \]
Куб (ръб \(a\)):
Лице на повърхнина: \( S = 6 \cdot a^2 \)
Обем: \( V = a^3 \)
Лице на повърхнина: \( S = 6 \cdot a^2 \)
Обем: \( V = a^3 \)
Правоъгълен паралелепипед (ръбове \(a, b, c\)):
Лице на повърхнина: \( S = 2 \cdot (ab + bc + ac) \)
Обем: \( V = a \cdot b \cdot c \)
Лице на повърхнина: \( S = 2 \cdot (ab + bc + ac) \)
Обем: \( V = a \cdot b \cdot c \)
Намерете обема на правоъгълен паралелепипед с размери 5 cm, 4 cm и 2 cm.
\[ V = a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 4 \cdot 2 = 40 \text{ cm}^3 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \( \frac{4}{5} - \frac{1}{2} \).
НОЗ(5, 2) = 10.
\[ \frac{4 \cdot 2}{10} - \frac{1 \cdot 5}{10} = \frac{8 - 5}{10} = \frac{3}{10} \]
Средна: Лицето на триъгълник е 42 cm². Височината към една от страните му е 7 cm. Намерете дължината на тази страна.
От формулата \(S = \frac{a \cdot h_a}{2}\):
\[ 42 = \frac{a \cdot 7}{2} \]
\[ 84 = a \cdot 7 \]
\[ a = 84 : 7 = 12 \text{ cm} \]
Трудна: Аквариум с форма на правоъгълен паралелепипед има обем 60 литра и основа с размери 50 cm и 30 cm. Намерете височината на аквариума в сантиметри. (Приемете, че \(1 \text{ литър} = 1000 \text{ cm}^3\)).
Превръщаме обема от литри в кубични сантиметри:
\[ 60 \text{ литра} = 60 \cdot 1000 = 60000 \text{ cm}^3 \]
Използваме формулата за обем \( V = a \cdot b \cdot c \):
\[ 60000 = 50 \cdot 30 \cdot c \]
\[ 60000 = 1500 \cdot c \]
Намираме височината \(c\):
\[ c = 60000 : 1500 = 600 : 15 = 40 \text{ cm} \]
Отговор: Височината на аквариума е 40 cm.
