Най-важното от урока
Ключови изводи за обратната пропорционалност:
- Две величини са обратнопропорционални, ако произведението им е постоянно число: \( x \cdot y = k \).
- Когато едната величина нараства, другата намалява точно толкова пъти. (Напр. 2 пъти по-висока скорост означава 2 пъти по-малко време за пътуване).
- Графиката на тази зависимост е намаляваща крива (хипербола).
- Типични примери от практиката: връзката между скорост и време (при постоянен път) или между брой работници и време (при постоянна работа).
Обратна пропорционалност: Зависимост между две величини \( x \) и \( y \), при която увеличението на едната води до пропорционално намаление на другата, и обратно.
Зависимостта се изразява с формулата:
\[ y = k \cdot \frac{1}{x} \quad \text{или} \quad x \cdot y = k \]
където \( k \neq 0 \) е коефициент на пропорционалност, а \( x \neq 0 \). Произведението на двете величини е винаги постоянно число.
Основни свойства:
- С увеличаването на \( x \) няколко пъти, \( y \) се намалява същия брой пъти.
- С намаляването на \( x \) няколко пъти, \( y \) се увеличава същия брой пъти.
Ако площта на един правоъгълник е фиксирана на \( 400 \text{ см}^2 \), то дължината \( x \) и ширината \( y \) са обратнопропорционални: \( x \cdot y = 400 \).
Ако дължината е \( 10 \text{ см} \), ширината е \( 40 \text{ см} \). Ако дължината се увеличи на \( 40 \text{ см} \) (4 пъти), ширината намалява на \( 10 \text{ см} \) (4 пъти).
Ако дължината е \( 10 \text{ см} \), ширината е \( 40 \text{ см} \). Ако дължината се увеличи на \( 40 \text{ см} \) (4 пъти), ширината намалява на \( 10 \text{ см} \) (4 пъти).
За обратнопропорционалните величини \( x \) и \( y \) е известно, че при \( x = 2 \), стойността на \( y = 12 \). Намерете коефициента на пропорционалност \( k \) и стойността на \( y \) при \( x = 6 \).
1. Намираме коефициента \( k \):
\[ k = x \cdot y = 2 \cdot 12 = 24 \]
2. Заместваме \( x = 6 \) във формулата \( x \cdot y = 24 \):
\[ 6 \cdot y = 24 \implies y = \frac{24}{6} = 4 \]
Обратната пропорционалност може да се представи графично в правоъгълна координатна система. Точките, отговарящи на съответните стойности на \( x \) и \( y \), лежат на крива линия.
От графиката визуално се потвърждава правилото: колкото по-надясно се движим по хоризонталната ос (увеличаваме \( x \)), толкова по-надолу слиза кривата по вертикалната ос (намалява \( y \)).
Обратната пропорционалност се среща често в практически задачи, свързани с извършване на работа, разпределяне на ресурси или движение.
Задачи за работа: Връзката между броя на работниците (или машините) и времето за извършване на дадена постоянна работа.
Пример: 10 работници строят къща за 60 дни (\( 10 \cdot 60 = 600 \)). Ако работниците станат 30 (3 пъти повече), времето ще стане \( 600 : 30 = 20 \) дни (3 пъти по-малко).
Пример: 10 работници строят къща за 60 дни (\( 10 \cdot 60 = 600 \)). Ако работниците станат 30 (3 пъти повече), времето ще стане \( 600 : 30 = 20 \) дни (3 пъти по-малко).
Задачи за движение: Връзката между скоростта (\( v \)) и времето (\( t \)) при изминаване на фиксирано разстояние (\( S \)).
\[ S = v \cdot t \]
Пример: За да се измине път от 840 km, при скорост 40 km/h са нужни 21 часа. При скорост 120 km/h (3 пъти по-висока), ще са нужни \( 840 : 120 = 7 \) часа (3 пъти по-малко време).
Задачи за упражнение
Лесна: Величините \( a \) и \( b \) са обратнопропорционални. Попълнете липсващата стойност в таблицата:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a & 2 & 4 & 10 \\ \hline b & 20 & 10 & ? \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a & 2 & 4 & 10 \\ \hline b & 20 & 10 & ? \\ \hline \end{array} \]
1. Намираме коефициента на пропорционалност от първата колона: \( k = a \cdot b = 2 \cdot 20 = 40 \).
2. За да намерим неизвестното \( b \) при \( a = 10 \), използваме правилото \( a \cdot b = 40 \).
3. \( 10 \cdot b = 40 \implies b = 4 \).
Отговор: Липсващата стойност е 4.
2. За да намерим неизвестното \( b \) при \( a = 10 \), използваме правилото \( a \cdot b = 40 \).
3. \( 10 \cdot b = 40 \implies b = 4 \).
Отговор: Липсващата стойност е 4.
Средна: Петима работници с еднаква производителност могат да ремонтират покрив за 12 дни. За колко дни същият покрив ще бъде ремонтиран от 6 работници?
Зависимостта между броя на работниците и времето е обратнопропорционална. Произведението им е константа (общият обем работа).
1. Намираме обема работа: \( 5 \text{ работници} \cdot 12 \text{ дни} = 60 \).
2. Ако работниците са 6, означаваме времето с \( x \).
3. \( 6 \cdot x = 60 \implies x = 10 \).
Отговор: Шестима работници ще ремонтират покрива за 10 дни.
1. Намираме обема работа: \( 5 \text{ работници} \cdot 12 \text{ дни} = 60 \).
2. Ако работниците са 6, означаваме времето с \( x \).
3. \( 6 \cdot x = 60 \implies x = 10 \).
Отговор: Шестима работници ще ремонтират покрива за 10 дни.
Трудна: Разстоянието между два града се изминава от влак за 4 часа със скорост 90 km/h. С каква скорост трябва да се движи друг влак, за да измине същото разстояние за 3 часа?
Тъй като разстоянието \( S \) е постоянно, скоростта (\( v \)) и времето (\( t \)) са обратнопропорционални (\( v \cdot t = S \)).
1. Намираме разстоянието: \( S = 90 \text{ km/h} \cdot 4 \text{ h} = 360 \text{ km} \).
2. За втория влак разстоянието е същото (360 km), а времето е 3 часа. Търсим новата скорост \( v_2 \).
3. \( v_2 \cdot 3 = 360 \implies v_2 = 360 : 3 = 120 \text{ km/h} \).
Отговор: Вторият влак трябва да се движи със скорост 120 km/h.
1. Намираме разстоянието: \( S = 90 \text{ km/h} \cdot 4 \text{ h} = 360 \text{ km} \).
2. За втория влак разстоянието е същото (360 km), а времето е 3 часа. Търсим новата скорост \( v_2 \).
3. \( v_2 \cdot 3 = 360 \implies v_2 = 360 : 3 = 120 \text{ km/h} \).
Отговор: Вторият влак трябва да се движи със скорост 120 km/h.
