Най-важното от урока
Пирамида: геометрично тяло с основа многоъгълник и триъгълни околни стени с общ връх.
Правилна пирамида: има основа правилен многоъгълник и равни околни ръбове. Пример: пирамида с основа квадрат и 4 еднакви равнобедрени триъгълника за околни стени.
Ключови елементи: Запомни означенията: \(b\) (основен ръб), \(l\) (околен ръб), \(h\) (височина на пирамидата), \(k\) (апотема на пирамидата).
Правилна пирамида: има основа правилен многоъгълник и равни околни ръбове. Пример: пирамида с основа квадрат и 4 еднакви равнобедрени триъгълника за околни стени.
Ключови елементи: Запомни означенията: \(b\) (основен ръб), \(l\) (околен ръб), \(h\) (височина на пирамидата), \(k\) (апотема на пирамидата).
Тяло, на което едната стена е многоъгълник (наречен основа), а останалите стени са триъгълници с общ връх (наречени околни стени).
Основните елементи на всяка пирамида са:
- Основа: Многоъгълникът в основата (напр. \(ABCD\)).
- Основни ръбове: Страните на основата (напр. \(AB, BC\)).
- Околни стени: Триъгълните стени, които се събират във върха (напр. \(\Delta ABM\)).
- Околни ръбове: Ръбовете, свързващи върха на пирамидата с върховете на основата (напр. \(MA, MB\)).
- Връх на пирамидата: Общият връх на околните стени (напр. \(M\)).
Една триъгълна пирамида има за основа триъгълник. Тя има 3 околни стени, 3 основни ръба и 3 околни ръба.
Колко околни стени и колко основни ръба има една шестоъгълна пирамида?
Тъй като основата е шестоъгълник, тя има 6 страни (основни ръбове). От всяка страна излиза по една околна стена. Следователно пирамидата има 6 основни ръба и 6 околни стени.
Пирамида се нарича правилна, ако основата ѝ е правилен многоъгълник и всичките ѝ околни ръбове са равни.
От това следва, че всички околни стени на правилната пирамида са еднакви равнобедрени триъгълници.
Пирамида с основа квадрат и равни околни ръбове е правилна четириъгълна пирамида. Нейните 4 околни стени са еднакви равнобедрени триъгълници.
Основата на правилна пирамида е правилен петоъгълник. Какви са околните ѝ стени?
Тъй като пирамидата е правилна, околните ѝ стени са 5 на брой еднакви равнобедрени триъгълници.
Правилната пирамида има допълнителни елементи, които са важни за нейните свойства и изчисления.
Нови елементи:
- Височина на пирамидата (\(h\)): Отсечката, свързваща върха на пирамидата с центъра на основата (\(MO\)).
- Апотема на пирамидата (\(k\)): Височината на коя да е околна стена, спусната от върха на пирамидата към основния ръб (\(MK\)).
При правилна триъгълна пирамида, височината \(h\) свързва върха с медицентъра на равностранния триъгълник в основата. Апотемата \(k\) е височината на една от трите еднакви равнобедрени околни стени.
В правилна пирамида, кой елемент е по-дълъг: апотемата на пирамидата (\(k\)) или околният ръб (\(l\))?
Апотемата на пирамидата \(k\) е катет в правоъгълен триъгълник, чиято хипотенуза е околният ръб \(l\). Следователно, околният ръб винаги е по-дълъг от апотемата (\(l > k\)).
Задачи за упражнение
Лесна: Дадена е правилна петоъгълна пирамида. Ако дължината на един неин основен ръб е 7 cm, колко е периметърът на основата ѝ?
Основата е правилен петоъгълник със страна 7 cm.
Периметърът е \(P = 5 \cdot 7 = 35\) cm.
Периметърът е \(P = 5 \cdot 7 = 35\) cm.
Средна: Сборът от дължините на всички основни ръбове на правилна шестоъгълна пирамида е 48 cm. Сборът от дължините на всички околни ръбове е 60 cm. Намерете дължината на един основен ръб (\(b\)) и на един околен ръб (\(l\)).
Пирамидата има 6 основни ръба и 6 околни ръба.
Дължина на основен ръб: \(b = 48 \text{ cm} : 6 = 8 \text{ cm}\).
Дължина на околен ръб: \(l = 60 \text{ cm} : 6 = 10 \text{ cm}\).
Дължина на основен ръб: \(b = 48 \text{ cm} : 6 = 8 \text{ cm}\).
Дължина на околен ръб: \(l = 60 \text{ cm} : 6 = 10 \text{ cm}\).
Трудна: Периметърът на основата на правилна четириъгълна пирамида е 24 cm. Дължината на един околен ръб е 5 cm. Намерете периметъра на една нейна околна стена.
1. Намираме дължината на основния ръб (\(b\)). Основата е квадрат, така че \(b = 24 \text{ cm} : 4 = 6 \text{ cm}\).
2. Околната стена е равнобедрен триъгълник с основа, равна на основния ръб (\(b=6 \text{ cm}\)), и бедра, равни на околния ръб (\(l=5 \text{ cm}\)).
3. Периметърът на околната стена е \(P_{\text{ок.ст.}} = b + l + l = 6 + 5 + 5 = 16 \text{ cm}\).
2. Околната стена е равнобедрен триъгълник с основа, равна на основния ръб (\(b=6 \text{ cm}\)), и бедра, равни на околния ръб (\(l=5 \text{ cm}\)).
3. Периметърът на околната стена е \(P_{\text{ок.ст.}} = b + l + l = 6 + 5 + 5 = 16 \text{ cm}\).
