Правилна Призма

Най-важното от урока

Правилна призма: Права призма, чиято основа е правилен многоъгълник (равностранен триъгълник, квадрат и др.). Всички основни ръбове са равни на \(b\), а всички околни ръбове са равни на височината \(h\).
Околни стени: Всички \(n\) околни стени са еднакви правоъгълници с лице \(S_{\text{стена}} = b \cdot h\). Ако \(h = b\), те са квадрати.
Брой ръбове: Общо \(3n\) ръба (\(2n\) основни и \(n\) околни). Сборът им е \(L = 2n \cdot b + n \cdot h\).
Пример: При правилна триъгълна призма (\(n = 3\)) с \(b = 4\text{ cm}\) и \(h = 5\text{ cm}\): има \(9\) ръба със сбор \(6 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 39\text{ cm}\), а всяка околна стена има лице \(4 \cdot 5 = 20\text{ cm}^2\).

Права призма, чиито основи са правилни многоъгълници, се нарича правилна призма.

Правилен многоъгълник е многоъгълник, на който всички страни и всички ъгли са равни (например равностранен триъгълник, квадрат, правилен петоъгълник, правилен шестоъгълник).

Чертежи на правилна триъгълна призма (основа равностранен триъгълник), правилна четириъгълна призма (основа квадрат) и правилна шестоъгълна призма (основа правилен шестоъгълник). Означени са основните ръбове b и околните ръбове (височини) h.

Кубът е вид правилна четириъгълна призма, при която всички ръбове са равни (\(h = b\)).
Не всяка правилна четириъгълна призма е куб, защото височината ѝ може да е различна от основния ръб.
Правоъгълният паралелепипед е правилна призма само тогава, когато основата му е квадрат.

За всяка правилна \(n\)-ъгълна призма са в сила следните свойства:

Всички основни ръбове са с равна дължина: \(b\).
Всички околни ръбове са перпендикулярни на основите и са равни на височината на призмата: \(l = h\).
Околните стени са \(n\) на брой еднакви правоъгълници с измерения \(b\) и \(h\).
Ако височината е равна на основния ръб (\(h = b\)), околните стени са квадрати.

Елемент	Брой за \(n\)-ъгълна призма	Пример: шестоъгълна (\(n = 6\))
Основни ръбове	\(2 \cdot n\) (по \(n\) на всяка основа)	\(2 \cdot 6 = 12\)
Околни ръбове	\(n\)	\(6\)
Всички ръбове (общо)	\(3 \cdot n\)	\(3 \cdot 6 = 18\)
Околни стени	\(n\)	\(6\)
Всички стени (общо)	\(n + 2\)	\(6 + 2 = 8\)

Периметър (обиколка) на основата: \[ P = n \cdot b \] където \(n\) е броят на страните на основата, а \(b\) е дължината на основния ръб.

Лице на една околна стена: \[ S_{\text{стена}} = b \cdot h \] където \(b\) е основният ръб, а \(h\) е височината на призмата.

Сбор от дължините на всички ръбове (\(L\)): \[ L = 2 \cdot P + n \cdot h = 2n \cdot b + n \cdot h \] сборът от \(2n\) основни ръба и \(n\) околни ръба.

Правилна шестоъгълна призма има периметър на основата \(P = 36\text{ cm}\) и височина, равна на основния ръб (\(h = b\)).
• Основен ръб: \(b = 36 : 6 = 6\text{ cm}\).
• Височина: \(h = 6\text{ cm}\).
• Околните стени са квадрати със страна \(6\text{ cm}\) и лице \(S_{\text{стена}} = 6 \cdot 6 = 36\text{ cm}^2\).
• Сбор на всички 18 ръба: \(L = 18 \cdot 6 = 108\text{ cm}\).

Основата на правилна четириъгълна призма е с лице \(81\text{ cm}^2\). Намерете сбора от дължините на основните ѝ ръбове.

1. Основата е квадрат с лице \(B = b^2 = 81\text{ cm}^2 \implies b = 9\text{ cm}\).
2. Призмата има 2 основи с по 4 ръба всяка, т.е. общо 8 основни ръба.
3. Сборът от основните ръбове е: \[ 8 \cdot b = 8 \cdot 9 = 72\text{ cm} \]

Задачи за упражнение

Задача 1 (Лесна): Правилна триъгълна призма има обиколка на основата \(27\text{ cm}\) и височина \(8\text{ cm}\). Намерете дължината на основния ръб и лицето на една околна стена на призмата.

1. Основата е равностранен триъгълник (\(n = 3\)). \[ b = P : 3 = 27 : 3 = 9\text{ cm} \] 2. Околната стена е правоъгълник с измерения \(b = 9\text{ cm}\) и \(h = 8\text{ cm}\): \[ S_{\text{стена}} = b \cdot h = 9 \cdot 8 = 72\text{ cm}^2 \] Отговор: Основен ръб \(9\text{ cm}\); лице на околна стена \(72\text{ cm}^2\).

Задача 2 (Средна): Сборът от дължините на основните ръбове на правилна петоъгълна призма е \(120\text{ cm}\), а сборът от дължините на околните ѝ ръбове е \(60\text{ cm}\).
а) Намерете основния ръб и височината на призмата.
б) Определете вида и намерете лицето на една околна стена.

а) Петоъгълната призма има 2 основи с по 5 ръба (общо 10 основни ръба) и 5 околни ръба: \[ 10 \cdot b = 120 \implies b = 12\text{ cm} \] \[ 5 \cdot h = 60 \implies h = 12\text{ cm} \] б) Тъй като \(b = h = 12\text{ cm}\), съседните страни на околната стена са равни, следователно тя е квадрат. \[ S_{\text{стена}} = b \cdot h = 12 \cdot 12 = 144\text{ cm}^2 \] Отговор: а) \(b = 12\text{ cm}\), \(h = 12\text{ cm}\); б) квадрат с лице \(144\text{ cm}^2\).

Задача 3 (Средна): Дадени са правилна триъгълна и правилна четириъгълна призма с равни периметри на основите по \(12\text{ cm}\). Лицата на околните им стени са равни. Намерете височината на триъгълната призма, ако височината на четириъгълната призма е \(12\text{ cm}\).

1. За правилната четириъгълна призма: \[ b_4 = 12 : 4 = 3\text{ cm} \] \[ S_{\text{стена}} = b_4 \cdot h_4 = 3 \cdot 12 = 36\text{ cm}^2 \] 2. За правилната триъгълна призма: \[ b_3 = 12 : 3 = 4\text{ cm} \] Тъй като лицата на околните им стени са равни: \[ S_{\text{стена}} = b_3 \cdot h_3 = 36\text{ cm}^2 \] \[ 4 \cdot h_3 = 36 \implies h_3 = 36 : 4 = 9\text{ cm} \] Отговор: Височината на триъгълната призма е \(9\text{ cm}\).

Задача 4 (Трудна): Кула има форма на правилна осмоъгълна призма с височина \(12\text{ m}\). Сборът от лицата на всички нейни околни стени е \(288\text{ m}^2\). Намерете:
а) дължината на основния ръб на кулата;
б) сбора от дължините на всички ръбове на кулата.

а) Призмата е осмоъгълна (\(n = 8\)), следователно има 8 еднакви околни стени: \[ S_{\text{една стена}} = 288 : 8 = 36\text{ m}^2 \] Тъй като \(S_{\text{стена}} = b \cdot h\): \[ b \cdot 12 = 36 \implies b = 3\text{ m} \] б) Осмоъгълната призма има общо \(3 \cdot 8 = 24\) ръба (16 основни и 8 околни): \[ L = 16 \cdot b + 8 \cdot h = 16 \cdot 3 + 8 \cdot 12 = 48 + 96 = 144\text{ m} \] Отговор: а) \(b = 3\text{ m}\); б) \(144\text{ m}\).