Най-важното от урока
Основни понятия и формули:
• Константата \(\pi\) е отношението на дължината на окръжността към нейния диаметър. \(\pi \approx 3,14\) или \(\pi \approx \frac{22}{7}\).
• Дължина на окръжност: \( C = \pi d \) (ако е даден диаметър) или \( C = 2\pi r \) (ако е даден радиус).
• Намиране на неизвестни елементи: Диаметърът се намира чрез \( d = C : \pi \), а радиусът чрез \( r = d : 2 \).
• Константата \(\pi\) е отношението на дължината на окръжността към нейния диаметър. \(\pi \approx 3,14\) или \(\pi \approx \frac{22}{7}\).
• Дължина на окръжност: \( C = \pi d \) (ако е даден диаметър) или \( C = 2\pi r \) (ако е даден радиус).
• Намиране на неизвестни елементи: Диаметърът се намира чрез \( d = C : \pi \), а радиусът чрез \( r = d : 2 \).
Ако една окръжност бъде "разрязана" в една точка и разпъната в права линия, получената отсечка представлява нейната дължина. В практиката често се използва и терминът обиколка на окръжност.
Дължината на окръжността се бележи с главната латинска буква \( C \).
Отношението на дължината на всяка окръжност към нейния диаметър е винаги едно и също постоянно число. В математиката тази константа се бележи с гръцката буква \(\pi\) (чете се "пи").
\[ \pi = \frac{C}{d} \quad \text{или} \quad \pi = \frac{C}{2r} \]
Числото \(\pi\) има безкраен брой цифри след десетичната запетая. При пресмятане най-често се използват следните приблизителни стойности:
- \(\pi \approx 3,14\)
- \(\pi \approx \frac{22}{7}\) (използва се често, когато радиусът или диаметърът са кратни на 7)
Дължината на окръжност може да бъде пресметната, ако е известен нейният радиус (\(r\)) или диаметър (\(d\)).
Чрез диаметъра:
\[ C = \pi \cdot d \]
Чрез радиуса (тъй като \(d = 2r\)):
\[ C = 2 \cdot \pi \cdot r \]
Намерете дължината на окръжност, ако \(r = 5\) cm (\(\pi \approx 3,14\)).
Решение: \( C = 2 \cdot 3,14 \cdot 5 = 10 \cdot 3,14 = 31,4 \) cm.
Решение: \( C = 2 \cdot 3,14 \cdot 5 = 10 \cdot 3,14 = 31,4 \) cm.
Намерете дължината на окръжност, ако \(r = 7\) dm.
Решение: В този случай е по-удобно да заместим \(\pi\) с дробта \(\frac{22}{7}\):
\( C = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot 7 = 44 \) dm.
Решение: В този случай е по-удобно да заместим \(\pi\) с дробта \(\frac{22}{7}\):
\( C = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot 7 = 44 \) dm.
Ако е известна дължината на окръжността (\(C\)), формулите могат да се преобразуват за намиране на неизвестния диаметър или радиус.
\( d = C : \pi \)
\( r = d : 2 \)
Ако дължината на окръжност е \(15,7\) dm, намерете нейния диаметър и радиус (\(\pi \approx 3,14\)).
1. Намираме диаметъра:
\( d = 15,7 : 3,14 = 5 \) dm.
2. Намираме радиуса: \( r = 5 : 2 = 2,5 \) dm.
2. Намираме радиуса: \( r = 5 : 2 = 2,5 \) dm.
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете дължината на окръжност с диаметър \(d = 15\) mm. Използвайте \(\pi \approx 3,14\).
Използваме формулата \(C = \pi \cdot d\).
\(C = 3,14 \cdot 15\)
\(C = 47,1\) mm.
\(C = 3,14 \cdot 15\)
\(C = 47,1\) mm.
Средна: Дължината (обиколката) на една окръжност е \(132\) cm. Намерете нейния радиус, като използвате \(\pi \approx \frac{22}{7}\).
Използваме формулата \(C = 2 \cdot \pi \cdot r\).
\(132 = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot r\)
\(132 = \frac{44}{7} \cdot r\)
\(r = 132 : \frac{44}{7}\)
\(r = 132 \cdot \frac{7}{44}\)
\(r = 3 \cdot 7 = 21\) cm.
\(132 = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot r\)
\(132 = \frac{44}{7} \cdot r\)
\(r = 132 : \frac{44}{7}\)
\(r = 132 \cdot \frac{7}{44}\)
\(r = 3 \cdot 7 = 21\) cm.
Трудна: Намерете обиколката на диск в сантиметри, ако диаметърът му е \(4,75\) инча. (Известно е, че \(1\) инч = \(2,54\) cm, използвайте \(\pi \approx 3,14\)).
Първо превръщаме диаметъра от инчове в сантиметри:
\(d = 4,75 \cdot 2,54 = 12,065\) cm.
След това пресмятаме обиколката по формулата \(C = \pi \cdot d\):
\(C = 3,14 \cdot 12,065 = 37,8841\) cm.
\(d = 4,75 \cdot 2,54 = 12,065\) cm.
След това пресмятаме обиколката по формулата \(C = \pi \cdot d\):
\(C = 3,14 \cdot 12,065 = 37,8841\) cm.
