Най-важното от урока
Основна цел: Да намерим стойността на неизвестното \(x\).
Метод за решаване на \( ax + b = 0 \):
Проверка: Винаги можем да проверим решението си, като го заместим в началното уравнение. \(2(-5)+10 = -10+10=0\).
Метод за решаване на \( ax + b = 0 \):
- Прехвърляме \(b\) вдясно със сменен знак: \(ax = -b\).
- Делим на \(a\): \(x = \frac{-b}{a}\).
Проверка: Винаги можем да проверим решението си, като го заместим в началното уравнение. \(2(-5)+10 = -10+10=0\).
Уравнение с едно неизвестно е равенство, в което има число, означено с буква (например \(x\)), чиято стойност търсим.
Корен (решение) на уравнението е число, което при заместване на неизвестното превръща уравнението във вярно числово равенство.
Числото \(x=3\) е корен на уравнението \(x+4=7\), защото като го заместим, получаваме вярното равенство \(3+4=7\).
Проверете дали \(x=-3\) е корен на уравнението \(5x+15=0\).
Заместваме \(x\) с \(-3\):
\[5 \cdot (-3) + 15 = -15 + 15 = 0\]
Получава се \(0=0\), което е вярно. Следователно \(x=-3\) е корен на уравнението.
Това е основен вид линейно уравнение, където:
- \(x\) е неизвестното.
- \(a\) е коефициент пред неизвестното (\(a \ne 0\)).
- \(b\) е свободен член (число без \(x\)).
В уравнението \(2x - 6 = 0\):
- Коефициентът е \(a=2\).
- Свободният член е \(b=-6\).
Определете коефициента \(a\) и свободния член \(b\) в уравнението \(-7x + 14 = 0\).
Отговор: \(a = -7\), \(b = 14\).
Прехвърляне на свободния член: Преместваме свободния член \(b\) от лявата в дясната страна на равенството, като му сменяме знака.
\[ax + b = 0 \implies ax = -b\]
Намиране на неизвестното: Делим двете страни на уравнението на коефициента \(a\), за да намерим \(x\).
\[ax = -b \implies x = \frac{-b}{a}\]
Да решим уравнението \(3x - 7 = 0\):
- Прехвърляме \(-7\) вдясно: \(3x = 7\).
- Делим на коефициента 3: \(x = \frac{7}{3}\).
Ако коефициентът \(a\) е дроб, например \(\frac{1}{2}x + 4 = 0\), по-лесно е да умножим двете страни по реципрочното му число (в случая 2), вместо да делим.
\[ \frac{1}{2}x = -4 \quad | \cdot 2 \]
\[ x = -8 \]
Решете уравнението \(5x + 4 = 0\).
1. \(5x = -4\)
2. \(x = -\frac{4}{5}\)
2. \(x = -\frac{4}{5}\)
Задачи за упражнение
Лесна: Проверете дали числото 5 е корен на уравнението \(3x - 15 = 0\).
Заместваме \(x\) с 5: \(3 \cdot 5 - 15 = 15 - 15 = 0\).
Тъй като \(0=0\), числото 5 е корен на уравнението.
Тъй като \(0=0\), числото 5 е корен на уравнението.
Средна: Решете уравнението \(4x + 32 = 0\) и направете проверка.
Решение:
\[ 4x = -32 \]
\[ x = \frac{-32}{4} \]
\[ x = -8 \]
Проверка:
\[ 4 \cdot (-8) + 32 = -32 + 32 = 0 \]
Равенството е вярно.
Трудна: Решете уравнението \( \frac{2}{3}x - 4 = 0 \).
Първо прехвърляме свободния член:
\[ \frac{2}{3}x = 4 \]
Сега умножаваме двете страни по реципрочното на \(\frac{2}{3}\), което е \(\frac{3}{2}\):
\[ x = 4 \cdot \frac{3}{2} \]
\[ x = \frac{12}{2} = 6 \]
