Най-важното от урока
Ключови изводи: Делението е обратно на умножението.
- Правило на знаците: Еднакви знаци дават \(+\), различни знаци дават \(-\). Пример: \( (-15) : 3 = -5 \); \( (-15) : (-3) = 5 \).
- Деление на дроби: Умножаваме по реципрочната. Пример: \( \frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \).
- Деление на десетични дроби: Местим запетаята, за да направим делителя цяло число. Пример: \( 1.2 : (-0.3) = 12 : (-3) = -4 \).
Знакът на частното се определя от знаците на делимото и делителя:
- При деление на числа с еднакви знаци, резултатът е винаги положителен (+).
- При деление на числа с различни знаци, резултатът е винаги отрицателен (-).
\((+):(+) = (+)\)
\((-):(-) = (+)\)
\((+):(-) = (-)\)
\((-):(+) = (-)\)
\((-):(-) = (+)\)
\((+):(-) = (-)\)
\((-):(+) = (-)\)
- \((-10) : (-2) = +5\) (еднакви знаци → положителен резултат)
- \(12 : (-4) = -3\) (различни знаци → отрицателен резултат)
Определете знака и пресметнете: \( -24 : 4 \).
Отговор: Числата са с различни знаци, следователно резултатът е отрицателен.
\[-24 : 4 = -6\]
Делението на рационално число с дроб се свежда до умножение с нейната реципрочна стойност.
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \]
Забележка: Това правило важи и при деление на цяло число с дроб. Пример: \( a : \frac{c}{d} = a \cdot \frac{d}{c} \)
Пресмятаме \( -\frac{3}{4} : \frac{5}{12} \):
- Определяме знака: \( (-) : (+) = (-) \).
- Делението преминава в умножение с реципрочната дроб: \( -\left( \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{5} \right) \).
- Извършваме съкращаване и пресмятаме: \( -\frac{3 \cdot \cancel{12}^3}{\cancel{4}_1 \cdot 5} = -\frac{3 \cdot 3}{5} = -\frac{9}{5} \).
Пресметнете: \( \frac{2}{5} : (-\frac{4}{15}) \).
Решение:
\[ \frac{2}{5} : \left(-\frac{4}{15}\right) = -\left(\frac{2}{5} \cdot \frac{15}{4}\right) = -\left(\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{15}^3}{\cancel{4}_2}\right) = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = -\frac{3}{2} \]
При деление на десетични дроби, преместваме десетичната запетая в делимото и делителя с толкова позиции надясно, колкото са необходими, за да стане делителят цяло число. След това извършваме делението.
Пресмятаме \( -0.35 : (-0.5) \):
- Определяме знака: \( (-) : (-) = (+) \).
- Преместваме запетаята с една позиция надясно и в двете числа, за да стане делителят \(0.5\) цяло число (5): \( 0.35 : 0.5 \rightarrow 3.5 : 5 \).
- Извършваме делението: \( 3.5 : 5 = 0.7 \).
Пресметнете: \( 2.4 : (-0.03) \).
Решение:
Знакът е \( (+):(-)=(-) \).
Преместваме запетаята с две позиции надясно: \( 2.40 : 0.03 \rightarrow 240 : 3 = 80 \).
Отговор: \( -80 \).
Знакът е \( (+):(-)=(-) \).
Преместваме запетаята с две позиции надясно: \( 2.40 : 0.03 \rightarrow 240 : 3 = 80 \).
Отговор: \( -80 \).
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \( -42 : (-7) \).
Решение: Знаците са еднакви, резултатът е положителен. \( 42 : 7 = 6 \).
Отговор: 6.
Отговор: 6.
Средна: Пресметнете стойността на израза \( -12 : \frac{4}{5} \).
Решение:
\[ -12 : \frac{4}{5} = -12 \cdot \frac{5}{4} = -\frac{12 \cdot 5}{4} = -\frac{\cancel{12}^3 \cdot 5}{\cancel{4}_1} = -3 \cdot 5 = -15 \]
Отговор: -15.
Трудна: Пресметнете \( -\frac{5}{8} : (-0.25) \).
Решение: Първо, превръщаме десетичната дроб в обикновена: \( -0.25 = -\frac{25}{100} = -\frac{1}{4} \).
Сега задачата е \( -\frac{5}{8} : (-\frac{1}{4}) \).
Знаците са еднакви \((-):(-)=(+)\), така че резултатът е положителен. \[ \frac{5}{8} : \frac{1}{4} = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{1} = \frac{5 \cdot \cancel{4}^1}{\cancel{8}_2 \cdot 1} = \frac{5}{2} \] Отговор: \( \frac{5}{2} \) или 2.5.
Сега задачата е \( -\frac{5}{8} : (-\frac{1}{4}) \).
Знаците са еднакви \((-):(-)=(+)\), така че резултатът е положителен. \[ \frac{5}{8} : \frac{1}{4} = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{1} = \frac{5 \cdot \cancel{4}^1}{\cancel{8}_2 \cdot 1} = \frac{5}{2} \] Отговор: \( \frac{5}{2} \) или 2.5.
