Най-важното от урока
Развивка: 2D-фигура от основа (многоъгълник) и околни стени (триъгълници).
Периметри: \(P_{осн} = n \cdot b\) (за n-ъгълна основа с ръб \(b\)), \(P_{околна стена} = b + 2l\) (за околен ръб \(l\)).
Лице на развивка (Пълна повърхнина): \(S_{развивка} = S_{основа} + S_{околна повърхнина}\).
Правилен тетраедър: Пирамида с 6 равни ръба и 4 еднакви равностранни триъгълника за стени.
Периметри: \(P_{осн} = n \cdot b\) (за n-ъгълна основа с ръб \(b\)), \(P_{околна стена} = b + 2l\) (за околен ръб \(l\)).
Лице на развивка (Пълна повърхнина): \(S_{развивка} = S_{основа} + S_{околна повърхнина}\).
Правилен тетраедър: Пирамида с 6 равни ръба и 4 еднакви равностранни триъгълника за стени.
Развивка на пирамида е равнинната фигура, която се получава при "разгъване" на пирамидата. Тя се състои от един правилен многоъгълник (основата) и толкова на брой еднакви равнобедрени триъгълници, колкото са страните на основата (околните стени).
Развивката на правилна четириъгълна пирамида се състои от 1 квадрат (основата) и 4 еднакви равнобедрени триъгълника (околните стени).
От колко и какви фигури се състои развивката на правилна шестоъгълна пирамида?
Отговор: От един правилен шестоъгълник (основа) и шест еднакви равнобедрени триъгълника (околни стени).
Развивката помага да се изчислят периметри и сбор от дължините на ръбовете. Основните елементи са основен ръб (\(b\)) и околен ръб (\(l\)).
- Периметър на основа на n-ъгълна пирамида: \(P_{осн} = n \cdot b\)
- Периметър на околна стена (равнобедрен триъгълник): \(P_{околна стена} = b + 2l\)
- Сбор от всички ръбове: \(S_{ръбове} = n \cdot b + n \cdot l\)
Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб \(b = 14\) см и околен ръб \(l = 25\) см.
- Периметър на основата: \(P_{осн} = 4 \cdot 14 = 56\) см.
- Периметър на околна стена: \(P_{околна стена} = 14 + 2 \cdot 25 = 64\) см.
- Сбор от всички ръбове: \(4 \cdot 14 + 4 \cdot 25 = 56 + 100 = 156\) см.
Правилна петоъгълна пирамида има основен ръб 10 см и околен ръб 15 см. Намерете сбора от дължините на всичките ѝ ръбове.
Пирамидата има 5 основни и 5 околни ръба.
Сбор = \(5 \cdot 10 + 5 \cdot 15 = 50 + 75 = 125\) см.
Сбор = \(5 \cdot 10 + 5 \cdot 15 = 50 + 75 = 125\) см.
Лицето на развивката е равно на сбора от лицето на основата и лицата на всички околни стени. Това е пълната повърхнина на пирамидата.
\[ S_{развивка} = S_{основа} + S_{околна повърхнина} \]
Където \(S_{околна повърхнина}\) е сборът от лицата на всички триъгълници (околни стени).
- Лице на основата (квадрат): \(S_{основа} = 6 \cdot 6 = 36 \text{ см}^2\)
- Лице на една околна стена (триъгълник): \(S_{триъг.} = \frac{b \cdot k}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12 \text{ см}^2\)
- Лице на развивката: \(S_{развивка} = S_{основа} + 4 \cdot S_{триъг.} = 36 + 4 \cdot 12 = 84 \text{ см}^2\)
Намерете лицето на развивка на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб 8 см и апотема 10 см.
\(S_{основа} = 8^2 = 64 \text{ см}^2\)
\(S_{околна стена} = \frac{8 \cdot 10}{2} = 40 \text{ см}^2\)
\(S_{развивка} = 64 + 4 \cdot 40 = 64 + 160 = 224 \text{ см}^2\)
\(S_{околна стена} = \frac{8 \cdot 10}{2} = 40 \text{ см}^2\)
\(S_{развивка} = 64 + 4 \cdot 40 = 64 + 160 = 224 \text{ см}^2\)
Правилен тетраедър е триъгълна пирамида, на която всичките 6 ръба са равни. Всичките ѝ 4 стени са еднакви равностранни триъгълници.
Развивката на правилен тетраедър е голям равностранен триъгълник. Ако страната на този голям триъгълник е 8 см, то ръбът на тетраедъра е \(a = 8 \div 2 = 4\) см. Сборът от ръбовете му е \(6 \cdot a = 6 \cdot 4 = 24\) см.
Правилен тетраедър има ръб с дължина 7 см. Намерете сбора от дължините на всичките му ръбове.
Тетраедърът има 6 равни ръба. Сборът е \(6 \cdot 7 = 42\) см.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете сбора от дължините на всички ръбове на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб 5 см и околен ръб 9 см.
Пирамидата има 4 основни ръба по 5 см и 4 околни ръба по 9 см.
Сбор = \((4 \cdot 5) + (4 \cdot 9) = 20 + 36 = 56\) см.
Сбор = \((4 \cdot 5) + (4 \cdot 9) = 20 + 36 = 56\) см.
Средна: Периметърът на основата на правилна шестоъгълна пирамида е 48 см. Периметърът на една нейна околна стена е 30 см. Намерете дължината на околния ръб на пирамидата.
1. Намираме основния ръб \(b\): \(P_{осн} = 6 \cdot b \Rightarrow 48 = 6 \cdot b \Rightarrow b = 8\) см.
2. Намираме околния ръб \(l\): \(P_{околна стена} = b + 2l \Rightarrow 30 = 8 + 2l \Rightarrow 2l = 22 \Rightarrow l = 11\) см.
Отговор: Околният ръб е 11 см.
2. Намираме околния ръб \(l\): \(P_{околна стена} = b + 2l \Rightarrow 30 = 8 + 2l \Rightarrow 2l = 22 \Rightarrow l = 11\) см.
Отговор: Околният ръб е 11 см.
Трудна: Пълната повърхнина (лицето на развивката) на правилна четириъгълна пирамида е 144 см². Лицето на околната ѝ повърхнина е 80 см². Намерете апотемата на пирамидата.
1. Намираме лицето на основата: \(S_{основа} = S_{пълна} - S_{околна} = 144 - 80 = 64 \text{ см}^2\).
2. Намираме основния ръб \(b\): Тъй като основата е квадрат, \(b^2 = 64 \Rightarrow b = 8\) см.
3. Намираме лицето на една околна стена: \(S_{околна} = 4 \cdot S_{триъг.} \Rightarrow 80 = 4 \cdot S_{триъг.} \Rightarrow S_{триъг.} = 20 \text{ см}^2\).
4. Намираме апотемата \(k\): \(S_{триъг.} = \frac{b \cdot k}{2} \Rightarrow 20 = \frac{8 \cdot k}{2} \Rightarrow 20 = 4k \Rightarrow k = 5\) см.
Отговор: Апотемата е 5 см.
2. Намираме основния ръб \(b\): Тъй като основата е квадрат, \(b^2 = 64 \Rightarrow b = 8\) см.
3. Намираме лицето на една околна стена: \(S_{околна} = 4 \cdot S_{триъг.} \Rightarrow 80 = 4 \cdot S_{триъг.} \Rightarrow S_{триъг.} = 20 \text{ см}^2\).
4. Намираме апотемата \(k\): \(S_{триъг.} = \frac{b \cdot k}{2} \Rightarrow 20 = \frac{8 \cdot k}{2} \Rightarrow 20 = 4k \Rightarrow k = 5\) см.
Отговор: Апотемата е 5 см.
