Най-важното от урока
- Централен ъгъл е ъгъл с връх в центъра на окръжността.
- Съответна дъга е частта от окръжността, заключена между раменете му.
- Едно пълно завъртане е \(360^\circ\), а правият ъгъл е \(90^\circ\).
- Частта, която дъгата заема от окръжността, се пресмята като съотношение на централния ѝ ъгъл към \(360^\circ\) (напр. ъгъл \(60^\circ\) отговаря на \(\frac{60}{360} = \frac{1}{6}\) от окръжността).
Централен ъгъл се нарича ъгъл, чийто връх съвпада с центъра на окръжността.
Раменете на централния ъгъл пресичат окръжността.
Частта от окръжността, която е заключена между раменете на централния ъгъл \(AOB\), се нарича съответна дъга и се означава с \(\overgroup{AB}\).
Дадена е окръжност с център точка \(O\). Начертани са ъгъл с връх в точка \(O\) и ъгъл с връх върху самата окръжност. Кой от двата ъгъла е централен?
Според определението, връхът на централния ъгъл трябва да съвпада с центъра на окръжността. Следователно централен е ъгълът с връх в точка \(O\).
Едно пълно завъртане по окръжността съответства на ъгъл от \(360^\circ\).
Правият ъгъл има мярка \(90^\circ\).
За да намерим каква част от цялата окръжност (като дължина) заема дадена дъга, разделяме мярката на нейния централен ъгъл на \(360^\circ\):
\[ \text{Част} = \frac{\text{Мярка на централния ъгъл}}{360^\circ} \]
Ако централният ъгъл е \(90^\circ\), то съответната му дъга е:
\[ \frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{4} \text{ от дължината на окръжността.} \]
Задачи за упражнение
Лесна:
Колко градуса е мярката на централен ъгъл, ако той е \(\frac{1}{2}\) от едно пълно завъртане по окръжността?
Едно пълно завъртане е \(360^\circ\).
\[ \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ \]
Отговор: \(180^\circ\).
Средна:
Колко градуса е мярката на централен ъгъл, ако той е \(50\%\) от правия ъгъл?
Правият ъгъл е \(90^\circ\). \(50\%\) е половината (\(\frac{1}{2}\)).
\[ \frac{50}{100} \cdot 90^\circ = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \]
Отговор: \(45^\circ\).
Трудна:
Дадена е окръжност с радиус \(r = 2 \text{ cm}\). Каква част от дължината на цялата окръжност е дължината на дъгата на централен ъгъл с мярка \(120^\circ\)? Пресметнете дължината на тази дъга.
Намираме каква част от окръжността е дъгата:
\[ \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3} \]
Изразяваме дължината на дъгата като част от обиколката на окръжността (\(C = 2 \cdot \pi \cdot r\)):
\[ \text{Дължина на дъгата} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \]
Заместваме с \(r = 2\):
\[ \text{Дължина} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 2 = \frac{4}{3} \pi \text{ cm} \]
Отговор: Дъгата е \(\frac{1}{3}\) от окръжността и има дължина \(\frac{4}{3} \pi \text{ cm}\).
