Най-важното от урока
Правилен многоъгълник: Всички страни и ъгли са му равни. Пример: квадрат, равностранен триъгълник.
Периметър: \(P = n \cdot b\). Пример: за правилен петоъгълник със страна 2 cm, \(P = 5 \cdot 2 = 10\) cm.
Централен ъгъл: \(\frac{360^\circ}{n}\). Пример: за квадрат (\(n=4\)) централният ъгъл е \(360^\circ / 4 = 90^\circ\).
Правилен шестоъгълник: Има специално свойство: страната му е равна на радиуса на описаната окръжност (\(b=r\)).
Периметър: \(P = n \cdot b\). Пример: за правилен петоъгълник със страна 2 cm, \(P = 5 \cdot 2 = 10\) cm.
Централен ъгъл: \(\frac{360^\circ}{n}\). Пример: за квадрат (\(n=4\)) централният ъгъл е \(360^\circ / 4 = 90^\circ\).
Правилен шестоъгълник: Има специално свойство: страната му е равна на радиуса на описаната окръжност (\(b=r\)).
Многоъгълник, на който всички страни са равни и всички ъгли са равни, се нарича правилен многоъгълник.
Върховете на всеки правилен многоъгълник лежат върху окръжност. Центърът на тази окръжност се нарича център на правилния многоъгълник. Разстоянието от центъра до средата на една страна се нарича апотема.
Равностранният триъгълник е правилен триъгълник.
Квадратът е правилен четириъгълник.
Квадратът е правилен четириъгълник.
Даден е правоъгълник със страни 3 cm и 5 cm. Правилен многоъгълник ли е той? Обяснете.
Отговор: Не. Въпреки че всичките му ъгли са равни (по \(90^\circ\)), страните му не са с равна дължина.
Периметърът (\(P\)) на правилен многоъгълник се намира, като се умножи броят на страните (\(n\)) по дължината на една страна (\(b\)).
\[ P = n \cdot b \]
където \(n\) е броят на страните, а \(b\) е дължината на страната.
Периметърът на правилен шестоъгълник (\(n=6\)) със страна \(b = 4,8\) cm е:
\(P = 6 \cdot 4,8 = 28,8\) cm.
\(P = 6 \cdot 4,8 = 28,8\) cm.
Намерете периметъра на правилен осмоъгълник (\(n=8\)) със страна \(b = 5\) cm.
Решение: \(P = n \cdot b = 8 \cdot 5 = 40\) cm.
Централният ъгъл се образува от два радиуса, свързващи центъра с два съседни върха. Големината му се намира, като се раздели \(360^\circ\) на броя на страните \(n\).
\[ \text{Централен ъгъл} = \frac{360^\circ}{n} \]
За да начертаем правилен петоъгълник (\(n=5\)), първо намираме централния му ъгъл: \(\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ\). След това чертаем окръжност и с помощта на транспортир нанасяме последователно 5 централни ъгъла по \(72^\circ\). Съединяваме получените точки върху окръжността.
Намерете централния ъгъл на правилен десетоъгълник (\(n=10\)).
Решение: \(\text{Централен ъгъл} = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ\).
Страната на правилния шестоъгълник (\(b\)) е равна на радиуса (\(r\)) на описаната около него окръжност.
\[ b = r \]
За да начертаем правилен шестоъгълник, рисуваме окръжност с радиус \(r\). След това, с разтвор на пергела, равен на радиуса \(r\), нанасяме последователно шест точки по окръжността, започвайки от произволна точка. Накрая съединяваме точките.
Страната на правилен шестоъгълник е 4 cm. Какъв е радиусът на описаната около него окръжност и какъв е периметърът му?
Решение: Тъй като \(b=r\), радиусът е \(r = 4\) cm.
Периметърът е \(P = 6 \cdot b = 6 \cdot 4 = 24\) cm.
Периметърът е \(P = 6 \cdot b = 6 \cdot 4 = 24\) cm.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете периметъра на правилен многоъгълник, ако броят на страните му е \(n=7\), а дължината на страната е \(b = 3,2\) cm.
Използваме формулата \(P = n \cdot b\).
\(P = 7 \cdot 3,2 = 22,4\) cm.
\(P = 7 \cdot 3,2 = 22,4\) cm.
Средна: Намерете дължината на страната на правилен деветоъгълник (\(n=9\)), ако периметърът му е \(P=110,7\) cm.
От формулата \(P = n \cdot b\) изразяваме страната \(b = P : n\).
\(b = 110,7 : 9 = 12,3\) cm.
\(b = 110,7 : 9 = 12,3\) cm.
Трудна: Начертайте правилен шестоъгълник, вписан в окръжност с радиус \(r=3\) cm, и намерете неговия периметър и централен ъгъл.
1. Чертане: Чертаем окръжност с \(r=3\) cm. С пергел, отворен на 3 cm, нанасяме 6 последователни точки върху окръжността и ги свързваме.
2. Периметър: За правилен шестоъгълник страната \(b\) е равна на радиуса \(r\). Следователно \(b = 3\) cm. Периметърът е \(P = 6 \cdot b = 6 \cdot 3 = 18\) cm.
3. Централен ъгъл: \(\frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\).
2. Периметър: За правилен шестоъгълник страната \(b\) е равна на радиуса \(r\). Следователно \(b = 3\) cm. Периметърът е \(P = 6 \cdot b = 6 \cdot 3 = 18\) cm.
3. Централен ъгъл: \(\frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\).
