Най-важното от урока
Лице на произволен многоъгълник: Намира се като се раздели на триъгълници и лицата им се съберат.
Лице на правилен многоъгълник: Използва се формулата \(S = \frac{P \cdot a}{2}\), където \(P\) е периметърът, а \(a\) е апотемата. Пример: за правилен петоъгълник с \(b=4\) см и \(a=2.7\) см, първо намираме \(P = 5 \cdot 4 = 20\) см, а после \(S = \frac{20 \cdot 2.7}{2} = 27\) см².
Намиране на страна/апотема: Преобразуваме формулата. Пример: ако \(S=27\) см² и \(P=20\) см, то \(a = \frac{2S}{P} = \frac{2 \cdot 27}{20} = 2.7\) см.
Мерни единици: Винаги ги уеднаквявайте преди изчисление! \(1 \text{ м} = 100 \text{ см} \Rightarrow 1 \text{ м}^2 = 100^2 = 10\;000 \text{ см}^2\).
Лице на правилен многоъгълник: Използва се формулата \(S = \frac{P \cdot a}{2}\), където \(P\) е периметърът, а \(a\) е апотемата. Пример: за правилен петоъгълник с \(b=4\) см и \(a=2.7\) см, първо намираме \(P = 5 \cdot 4 = 20\) см, а после \(S = \frac{20 \cdot 2.7}{2} = 27\) см².
Намиране на страна/апотема: Преобразуваме формулата. Пример: ако \(S=27\) см² и \(P=20\) см, то \(a = \frac{2S}{P} = \frac{2 \cdot 27}{20} = 2.7\) см.
Мерни единици: Винаги ги уеднаквявайте преди изчисление! \(1 \text{ м} = 100 \text{ см} \Rightarrow 1 \text{ м}^2 = 100^2 = 10\;000 \text{ см}^2\).
Основният метод за намиране на лице на произволен (неправилен) многоъгълник е разлагането му на триъгълници.
Лицето на многоъгълника е равно на сбора от лицата на триъгълниците, на които е разделен.
Един четириъгълник е разделен от диагонал на два триъгълника с лица \(S_1 = 15 \text{ см}^2\) и \(S_2 = 12 \text{ см}^2\).
Лицето на целия четириъгълник е \(S = S_1 + S_2 = 15 + 12 = 27 \text{ см}^2\).
Лицето на целия четириъгълник е \(S = S_1 + S_2 = 15 + 12 = 27 \text{ см}^2\).
Петоъгълник е разделен на три триъгълника с лица 5 см², 7 см² и 8 см². Какво е лицето на петоъгълника?
Отговор: \(S = 5 + 7 + 8 = 20 \text{ см}^2\).
Правилен многоъгълник е този, на който всички страни и всички ъгли са равни.
Апотема (\(a\)) наричаме разстоянието от центъра на правилния многоъгълник до средата на някоя от страните му.
\[ S = \frac{P \cdot a}{2} \]
където \(S\) е лицето, \(P\) е периметърът, а \(a\) е апотемата.
Периметърът се намира с \(P = n \cdot b\), където \(n\) е броят на страните, а \(b\) е дължината на една страна.
Да намерим лицето на правилен шестоъгълник (\(n=6\)) със страна \(b = 4 \text{ см}\) и апотема \(a = 3.5 \text{ см}\).
1. Периметър: \(P = 6 \cdot 4 = 24 \text{ см}\)
2. Лице: \(S = \frac{24 \cdot 3.5}{2} = 12 \cdot 3.5 = 42 \text{ см}^2\)
1. Периметър: \(P = 6 \cdot 4 = 24 \text{ см}\)
2. Лице: \(S = \frac{24 \cdot 3.5}{2} = 12 \cdot 3.5 = 42 \text{ см}^2\)
Намерете лицето на правилен петоъгълник със страна 10 см и апотема 6.9 см.
\(P = 5 \cdot 10 = 50 \text{ см}\)
\(S = \frac{50 \cdot 6.9}{2} = 25 \cdot 6.9 = 172.5 \text{ см}^2\)
\(S = \frac{50 \cdot 6.9}{2} = 25 \cdot 6.9 = 172.5 \text{ см}^2\)
Ако знаем лицето \(S\) и апотемата \(a\), можем да намерим периметъра \(P\) и страната \(b\) чрез преобразуване на формулата за лице.
От \( S = \frac{P \cdot a}{2} \) изразяваме \(P\):
\[ P = \frac{2S}{a} \]
От \( P = n \cdot b \) изразяваме \(b\):
\[ b = \frac{P}{n} \]
Правилен петоъгълник (\(n=5\)) има лице \(S = 21 \text{ см}^2\) и апотема \(a = 2.4 \text{ см}\).
1. Намираме периметъра: \(P = \frac{2 \cdot 21}{2.4} = \frac{42}{2.4} = 17.5 \text{ см}\)
2. Намираме страната: \(b = \frac{17.5}{5} = 3.5 \text{ см}\)
1. Намираме периметъра: \(P = \frac{2 \cdot 21}{2.4} = \frac{42}{2.4} = 17.5 \text{ см}\)
2. Намираме страната: \(b = \frac{17.5}{5} = 3.5 \text{ см}\)
Лицето на правилен осмоъгълник е 120 см², а апотемата му е 6 см. Намерете страната му.
1. \(P = \frac{2 \cdot 120}{6} = \frac{240}{6} = 40 \text{ см}\)
2. \(b = \frac{40}{8} = 5 \text{ см}\)
2. \(b = \frac{40}{8} = 5 \text{ см}\)
Преди да започнете изчисленията, винаги се уверявайте, че всички размери са в една и съща мерна единица!
\(1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2\)
\(1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2\)
\(1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2 = 10\;000 \text{ см}^2\)
\(1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2\)
\(1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2 = 10\;000 \text{ см}^2\)
Превърнете \( S = 2100 \text{ мм}^2 \) в \(\text{см}^2\).
Тъй като \(1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2\), делим на 100:
\(2100 : 100 = 21 \text{ см}^2\)
Тъй като \(1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2\), делим на 100:
\(2100 : 100 = 21 \text{ см}^2\)
Страната на квадрат е \(b = 2 \text{ дм}\), а височината на триъгълник е \(h = 15 \text{ см}\). Коя фигура има по-голямо лице, ако основата на триъгълника е равна на страната на квадрата?
1. Уеднаквяваме единиците: \(b = 2 \text{ дм} = 20 \text{ см}\).
2. Лице на квадрата: \(S_{кв} = b^2 = 20^2 = 400 \text{ см}^2\).
3. Лице на триъгълника: \(S_{тр} = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{20 \cdot 15}{2} = 150 \text{ см}^2\).
Отговор: Квадратът има по-голямо лице.
2. Лице на квадрата: \(S_{кв} = b^2 = 20^2 = 400 \text{ см}^2\).
3. Лице на триъгълника: \(S_{тр} = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{20 \cdot 15}{2} = 150 \text{ см}^2\).
Отговор: Квадратът има по-голямо лице.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете лицето на правилен шестоъгълник със страна \(b = 5 \text{ см}\) и апотема \(a = 4.3 \text{ см}\).
Периметър: \(P = 6 \cdot 5 = 30 \text{ см}\).
Лице: \(S = \frac{P \cdot a}{2} = \frac{30 \cdot 4.3}{2} = 15 \cdot 4.3 = 64.5 \text{ см}^2\).
Лице: \(S = \frac{P \cdot a}{2} = \frac{30 \cdot 4.3}{2} = 15 \cdot 4.3 = 64.5 \text{ см}^2\).
Средна: Лицето на правилен десетоъгълник (\(n=10\)) е \(385 \text{ см}^2\), а периметърът му е \(70 \text{ см}\). Намерете апотемата и страната на многоъгълника.
1. Намиране на страната: \(b = \frac{P}{n} = \frac{70}{10} = 7 \text{ см}\).
2. Намиране на апотемата: от \(S = \frac{P \cdot a}{2}\) следва \(a = \frac{2S}{P} = \frac{2 \cdot 385}{70} = \frac{770}{70} = 11 \text{ см}\).
2. Намиране на апотемата: от \(S = \frac{P \cdot a}{2}\) следва \(a = \frac{2S}{P} = \frac{2 \cdot 385}{70} = \frac{770}{70} = 11 \text{ см}\).
Трудна: Правилен петоъгълник има лице \(S = 0.006 \text{ м}^2\) и страна \(b = 20 \text{ см}\). Намерете апотемата му в сантиметри.
1. Уеднаквяваме мерните единици: \(S = 0.006 \text{ м}^2 = 0.006 \cdot 10\;000 \text{ см}^2 = 60 \text{ см}^2\).
2. Намираме периметъра: \(P = n \cdot b = 5 \cdot 20 = 100 \text{ см}\).
3. Намираме апотемата: \(a = \frac{2S}{P} = \frac{2 \cdot 60}{100} = \frac{120}{100} = 1.2 \text{ см}\).
2. Намираме периметъра: \(P = n \cdot b = 5 \cdot 20 = 100 \text{ см}\).
3. Намираме апотемата: \(a = \frac{2S}{P} = \frac{2 \cdot 60}{100} = \frac{120}{100} = 1.2 \text{ см}\).
