Най-важното от урока
Разместително свойство: Можем да променяме реда на събираемите. \( a+b = b+a \). Пример: \( -5 + 10 = 10 - 5 = 5 \).
Съдружително свойство: Можем да групираме събираемите по различен начин. \( (a+b)+c = a+(b+c) \). Пример: \( (2+3)+4 = 2+(3+4) = 9 \).
Практически извод: Използвайте тези свойства, за да пресмятате по-лесно, като събирате първо противоположни числа или числа, които дават "кръгъл" резултат. Пример: \( -4.5 + 7 + 4.5 = (-4.5 + 4.5) + 7 = 0 + 7 = 7 \).
Съдружително свойство: Можем да групираме събираемите по различен начин. \( (a+b)+c = a+(b+c) \). Пример: \( (2+3)+4 = 2+(3+4) = 9 \).
Практически извод: Използвайте тези свойства, за да пресмятате по-лесно, като събирате първо противоположни числа или числа, които дават "кръгъл" резултат. Пример: \( -4.5 + 7 + 4.5 = (-4.5 + 4.5) + 7 = 0 + 7 = 7 \).
При събиране на числа можем да разместваме местата на събираемите, без това да променя крайния резултат (сбора).
\[ a + b = b + a \]
Сумата от \( (-5) \) и \( (+3) \) е същата като сумата от \( (+3) \) и \( (-5) \):
- \( (-5) + (+3) = -2 \)
- \( (+3) + (-5) = -2 \)
Пресметнете \( (-12) + (+7) \) и \( (+7) + (-12) \). Равни ли са резултатите?
\( (-12) + (+7) = -5 \)
\( (+7) + (-12) = -5 \)
Отговор: Да, резултатите са равни.
\( (+7) + (-12) = -5 \)
Отговор: Да, резултатите са равни.
При събиране на три или повече числа можем да ги групираме по различен начин (чрез скоби), без това да променя сбора.
\[ (a + b) + c = a + (b + c) \]
Нека съберем числата \( (-4), (-2) \) и \( (-3) \):
- Групираме първите две: \( ((-4) + (-2)) + (-3) = (-6) + (-3) = -9 \)
- Групираме второто и третото: \( (-4) + ((-2) + (-3)) = (-4) + (-5) = -9 \)
Пресметнете израза \( (+8) + (-5) + (-10) \), като първо групирате първите две събираеми, а след това второто и третото.
1. \( ((+8) + (-5)) + (-10) = (+3) + (-10) = -7 \)
2. \( (+8) + ((-5) + (-10)) = (+8) + (-15) = -7 \)
Отговор: Резултатите и в двата случая са равни на -7.
2. \( (+8) + ((-5) + (-10)) = (+8) + (-15) = -7 \)
Отговор: Резултатите и в двата случая са равни на -7.
Сборът на кое да е рационално число и нула е равен на самото число.
\[ a + 0 = 0 + a = a \]
\( (-15) + 0 = -15 \)
\( 0 + 7.3 = 7.3 \)
\( 0 + 7.3 = 7.3 \)
Колко е сборът на \( - \frac{1}{2} \) и 0?
Отговор: \( - \frac{1}{2} + 0 = - \frac{1}{2} \)
Разместителното и съдружителното свойство ни позволяват да разместваме и групираме събираемите така, че пресмятането да е по-лесно.
Добра стратегия е да се групират:
- Противоположни числа (сборът им е 0).
- Числа, които дават "кръгъл" сбор (например \(6.3\) и \(1.7\)).
- Положителни с положителни и отрицателни с отрицателни.
Пресметнете \( (-6.3) + (-5) + (+1.3) \).
Групираме \( -6.3 \) и \( +1.3 \), за да получим цяло число.
\( ((-6.3) + (+1.3)) + (-5) = (-5) + (-5) = -10 \)
Групираме \( -6.3 \) и \( +1.3 \), за да получим цяло число.
\( ((-6.3) + (+1.3)) + (-5) = (-5) + (-5) = -10 \)
Пресметнете по най-удобния начин \( (+19) + (-7.5) + (-19) \).
Групираме противоположните числа \(+19\) и \(-19\).
\( ((+19) + (-19)) + (-7.5) = 0 + (-7.5) = -7.5 \)
\( ((+19) + (-19)) + (-7.5) = 0 + (-7.5) = -7.5 \)
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете по удобен начин: \( (-27) + (+13) + (+27) \)
Групираме противоположните числа:
\( ((-27) + (+27)) + (+13) = 0 + 13 = 13 \)
\( ((-27) + (+27)) + (+13) = 0 + 13 = 13 \)
Средна: Пресметнете по удобен начин: \( (+3.8) + (-7.1) + (+1.2) \)
Групираме \(+3.8\) и \(+1.2\), защото сборът им е цяло число:
\( ((+3.8) + (+1.2)) + (-7.1) = (+5) + (-7.1) = -2.1 \)
\( ((+3.8) + (+1.2)) + (-7.1) = (+5) + (-7.1) = -2.1 \)
Трудна: Пресметнете по удобен начин: \( (+ \frac{2}{5}) + (-11) + (-3.4) + (+ \frac{3}{5}) + (+3.4) \)
Групираме дробите с дроби и противоположните десетични дроби:
\( ((+ \frac{2}{5}) + (+ \frac{3}{5})) + ((-3.4) + (+3.4)) + (-11) \)
\( = (+ \frac{5}{5}) + 0 + (-11) \)
\( = (+1) + 0 + (-11) = -10 \)
\( ((+ \frac{2}{5}) + (+ \frac{3}{5})) + ((-3.4) + (+3.4)) + (-11) \)
\( = (+ \frac{5}{5}) + 0 + (-11) \)
\( = (+1) + 0 + (-11) = -10 \)
