Най-важното от урока
Събиране с еднакви знаци: Събират се модулите, знакът се запазва: \( (-3) + (-5) = -8 \).
Събиране с различни знаци: Изважда се по-малкият модул от по-големия, поставя се знакът на по-големия по модул: \( (-9) + 4 = -5 \).
Изваждане: Преминава в събиране с противоположното число: \( a - b = a + (-b) \), например \( 7 - (-2) = 7 + 2 = 9 \).
Разкриване на скоби: Знак „+“ запазва знаците вътре (\( +(a-b) = a-b \)), а знак „–“ обръща всички знаци (\( -(a-b) = -a+b \)).
Основни свойства: \( a + b = b + a \), \( (a + b) + c = a + (b + c) \), \( a + 0 = a \), \( a + (-a) = 0 \).
Събиране с различни знаци: Изважда се по-малкият модул от по-големия, поставя се знакът на по-големия по модул: \( (-9) + 4 = -5 \).
Изваждане: Преминава в събиране с противоположното число: \( a - b = a + (-b) \), например \( 7 - (-2) = 7 + 2 = 9 \).
Разкриване на скоби: Знак „+“ запазва знаците вътре (\( +(a-b) = a-b \)), а знак „–“ обръща всички знаци (\( -(a-b) = -a+b \)).
Основни свойства: \( a + b = b + a \), \( (a + b) + c = a + (b + c) \), \( a + 0 = a \), \( a + (-a) = 0 \).
Две рационални числа с еднакви знаци се събират, като:
- се съберат техните модули;
- пред получения сбор се постави техният общ знак.
\[ (+a) + (+b) = +(a + b) \]
\[ (-a) + (-b) = -(a + b) \]
- \( (+4) + (+21) = +25 \)
- \( (-7) + (-8) = -(7 + 8) = -15 \)
- \( (-4,3) + (-5,2) = -9,5 \)
- \( \left(-\frac{1}{5}\right) + \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{3}{5} \)
Пресметнете сбора: \( \left(-3\frac{1}{7}\right) + \left(-2\frac{6}{7}\right) \).
Числата са отрицателни, затова събираме модулите им и поставяме знак минус:
\[ -\left(3\frac{1}{7} + 2\frac{6}{7}\right) = -5\frac{7}{7} = -6 \]
Две рационални числа с различни знаци се събират, като:
- ако са противоположни числа, сборът им е равен на \(0\): \( a + (-a) = 0 \);
- ако не са противоположни, от по-големия модул се изважда по-малкият модул и пред получения резултат се поставя знакът на числото с по-голям модул.
- \( (-15) + (+7) = -(15 - 7) = -8 \) (тъй като \( |-15| > |+7| \))
- \( (-23) + (+30) = +(30 - 23) = +7 \) (тъй като \( |+30| > |-23| \))
- \( (-17) + (+17) = 0 \) (противоположни числа)
Пресметнете стойността на сбора: \( (+12,4) + (-15,9) \).
Сравняваме модулите: \( |-15,9| = 15,9 \) и \( |+12,4| = 12,4 \). Понеже \( 15,9 > 12,4 \), знакът на резултата е минус:
\[ (+12,4) + (-15,9) = -(15,9 - 12,4) = -3,5 \]
За произволни рационални числа \(a\), \(b\) и \(c\) са в сила основните свойства на действието събиране:
- Разместително (комутативно) свойство: \[ a + b = b + a \]
- Съдружително (асоциативно) свойство: \[ (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c \]
- Свойство на нулата (неутрален елемент): \[ a + 0 = 0 + a = a \]
- Сбор на противоположни числа: \[ a + (-a) = 0 \]
Групиране за по-лесно пресмятане:
\[ (-6,3) + (-5) + (+1,3) = [(-6,3) + (+1,3)] + (-5) = (-5) + (-5) = -10 \]
Пресметнете сбора чрез удобно групиране: \( (+4) + (-9) + (-4) + (+19) \).
Групираме противоположните числа и останалите събираеми:
\[ [(+4) + (-4)] + [(-9) + (+19)] = 0 + (+10) = 10 \]
Две рационални числа се изваждат, като към умаляемото се прибави противоположното число на умалителя.
\[ a - b = a + (-b) \]
Действието изваждане е винаги възможно в множеството на рационалните числа (дори когато умаляемото е по-малко от умалителя).
- \( (+5) - (+8) = (+5) + (-8) = -3 \)
- \( (+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8 \)
- \( (-8) - (+6) = (-8) + (-6) = -14 \)
- \( (-10) - (-17) = (-10) + (+17) = +7 \)
Пресметнете разликата: \( (-5,4) - (+3,6) \).
Заменяме изваждането със събиране на противоположното число:
\[ (-5,4) - (+3,6) = (-5,4) + (-3,6) = -(5,4 + 3,6) = -9 \]
Правила за знаците при разкриване на единични скоби:
\[ +(+a) = +a \qquad +(-a) = -a \]
\[ -(+a) = -a \qquad -(-a) = +a \]
Изпускат се скобите и знакът „+“ пред тях, а всяко число вътре в скобите се преписва със своя собствен знак:
\[ a + (b - c) = a + b - c \]
Изпускат се скобите и знакът „–“ пред тях, а всяко число вътре в скобите се преписва с противоположен знак:
\[ a - (b - c) = a - b + c \]
- \( 10 + (-2 + 3) = 10 - 2 + 3 = 11 \)
- \( 16 - (4 - 5 + 15) = 16 - 4 + 5 - 15 = 2 \)
Опростете и пресметнете израза: \( -7 - (-12 + 3) \).
Разкриваме скобите, предхождани от знак „–“, като сменим знаците вътре:
\[ -7 - (-12 + 3) = -7 + 12 - 3 = 12 - 10 = 2 \]
За бързо и лесно намиране на стойност на дълги числови изрази се прилагат следните подходи:
- Унищожаване на противоположни числа: сборове от вида \( -a + a = 0 \) се зачертават.
- Групиране по знаци: отделно събиране на всички положителни и отделно на всички отрицателни числа.
- Групиране по вид на числата: отделно събиране на десетични дроби и отделно на обикновени дроби с равни знаменатели.
\[ \underline{36} - 29 - 11 + \underline{14} = (36 + 14) - (29 + 11) = 50 - 40 = 10 \]
\[ 8,4 - 1\frac{1}{3} - 5,4 - \frac{2}{3} = (8,4 - 5,4) - \left(1\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right) = 3 - 2 = 1 \]
Пресметнете по рационален начин: \( -18 + 7 + 18 - 25 \).
Унищожаваме противоположните числа \(-18\) и \(+18\):
\[ \cancel{-18} + 7 + \cancel{18} - 25 = 7 - 25 = -18 \]
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): Пресметнете стойността на изразите:
а) \( (-14) + (-26) \)
б) \( (-32) + (+45) \)
в) \( (+8) - (-17) \)
а) \( (-14) + (-26) \)
б) \( (-32) + (+45) \)
в) \( (+8) - (-17) \)
а) Еднакви знаци: \( (-14) + (-26) = -(14 + 26) = -40 \)
б) Различни знаци: \( (-32) + (+45) = +(45 - 32) = 13 \)
в) Изваждане: \( (+8) - (-17) = 8 + 17 = 25 \)
б) Различни знаци: \( (-32) + (+45) = +(45 - 32) = 13 \)
в) Изваждане: \( (+8) - (-17) = 8 + 17 = 25 \)
Задача 2 (Средна): Разкрийте скобите и пресметнете:
\[ A = -25 - (15 - 35) + (-8 + 3) \]
Разкриваме скобите спрямо знаците пред тях:
\[ A = -25 - 15 + 35 - 8 + 3 \]
Събираме положителните и отрицателните числа:
\[ A = (35 + 3) - (25 + 15 + 8) = 38 - 48 = -10 \]
Задача 3 (Средна): Намерете стойността на израза \( M = a - b + c \), ако \( a = -4,8 \), \( b = -7,3 \) и \( c = -5,5 \).
Заместваме стойностите в израза:
\[ M = (-4,8) - (-7,3) + (-5,5) \]
Разкриваме скобите:
\[ M = -4,8 + 7,3 - 5,5 \]
Групираме отрицателните събираеми:
\[ M = 7,3 - (4,8 + 5,5) = 7,3 - 10,3 = -3 \]
Задача 4 (Трудна): Пресметнете по най-рационален начин стойността на израза:
\[ B = -12,6 + 5\frac{3}{8} - 7,4 - 2\frac{3}{8} + 10 \]
Групираме по подходящ начин десетичните и обикновените дроби:
\[ B = (-12,6 - 7,4) + \left(5\frac{3}{8} - 2\frac{3}{8}\right) + 10 \]
Пресмятаме отделните групи:
\[ -12,6 - 7,4 = -20 \]
\[ 5\frac{3}{8} - 2\frac{3}{8} = 3 \]
Следователно:
\[ B = -20 + 3 + 10 = -20 + 13 = -7 \]
