Най-важното от урока
Перпендикулярни прави: Пресичат се под прав ъгъл (\(90^\circ\)). Записваме \(a \perp b\).
Перпендикуляр: Отсечката от точка до права, която е перпендикулярна на правата.
Разстояние: Дължината на перпендикуляра. Това е най-късият път от точката до правата.
Свойство: През дадена точка минава само една права, перпендикулярна на дадена права.
Перпендикуляр: Отсечката от точка до права, която е перпендикулярна на правата.
Разстояние: Дължината на перпендикуляра. Това е най-късият път от точката до правата.
Свойство: През дадена точка минава само една права, перпендикулярна на дадена права.
Две прави се наричат перпендикулярни, ако при пресичането си образуват прав ъгъл (\(90^\circ\)).
Означаваме \( a \perp b \) и четем „правата \( a \) е перпендикулярна на правата \( b \)“.
Ако две прави са перпендикулярни, то отсечки, които лежат на тези прави, също се наричат перпендикулярни.
Дадени са две прави \(m\) и \(n\). Ъгълът между тях е \(90^\circ\). Какви са тези прави?
Отговор: Правите са перпендикулярни (\(m \perp n\)).
Разстоянието от точка до права е дължината на отсечката, спусната перпендикулярно от точката към правата.
Самата отсечка се нарича перпендикуляр. Нейната дължина е най-късото разстояние от точката до правата.
Ако точката лежи на самата права, разстоянието от нея до правата е 0.
На чертежа перпендикулярът от точка \(D\) към правата \(m\) е отсечката \(DB\). Разстоянието от \(D\) до \(m\) е равно на дължината на \(DB\).
Разстоянието от точка \(M\) до права \(p\) е 8 см. Разстоянието от точка \(N\) до същата права \(p\) е 12 см. Коя точка е по-близо до правата?
Отговор: Точка \(M\) е по-близо до правата \(p\), защото \(8 \text{ см} < 12 \text{ см}\).
През една точка (независимо дали лежи на дадена права, или е извън нея) може да се построи само една права, перпендикулярна на дадената.
За да намерим разстоянието от точка до права, първо трябва да построим перпендикуляра от точката към правата. Това най-лесно става с помощта на чертожен триъгълник с прав ъгъл.
На чертежа е показано как с триъгълник се построява перпендикуляр \(n\) към права \(m\) през точка \(M\), която не лежи на \(m\), и през точка \(N\), която лежи на \(m\).
Как ще намерите разстоянието от върха \(C\) на \(\triangle ABC\) до страната \(AB\)?
Отговор: Трябва да се спусне перпендикуляр от точка \(C\) към правата, на която лежи страната \(AB\). Дължината на този перпендикуляр е търсеното разстояние.
Задачи за упражнение
Лесна: Даден е правоъгълник \(ABCD\). Колко е разстоянието от точка \(A\) до правата, съдържаща страната \(CD\)?
Тъй като в правоъгълника съседните страни са перпендикулярни (\(AD \perp CD\)), разстоянието от точка \(A\) до правата \(CD\) е равно на дължината на страната \(AD\).
Средна: В квадратна мрежа с дължина на единичното квадратче 1 см са дадени права \(a\) и точка \(B\). Точка \(B\) е разположена 4 квадратчета над правата \(a\). Начертайте перпендикуляра от \(B\) към \(a\) и намерете разстоянието.
Перпендикулярът е вертикална отсечка с дължина 4 квадратчета.
Разстоянието е \(4 \times 1 \text{ см} = 4 \text{ см}\).
Разстоянието е \(4 \times 1 \text{ см} = 4 \text{ см}\).
Трудна: Даден е равнобедрен \(\triangle ABC\) с основа \(AB\). Точка \(M\) е средата на \(AB\). Какво е разстоянието от върха \(C\) до основата \(AB\)? Обосновете се.
В равнобедрения триъгълник медианата към основата (\(CM\)) е също и височина (перпендикуляр) към нея. Следователно \(CM \perp AB\).
Отговор: Разстоянието от точка \(C\) до основата \(AB\) е равно на дължината на отсечката \(CM\).
Отговор: Разстоянието от точка \(C\) до основата \(AB\) е равно на дължината на отсечката \(CM\).
