Най-важното от урока
Реципрочно число: За да намериш реципрочното, "обърни" дробта (например \( \frac{3}{4} \rightarrow \frac{4}{3} \)).
Правило за деление: Делението е умножение с реципрочното на делителя. \( \frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \).
Смесени/цели числа: Винаги първо ги превръщай в неправилни дроби. \( 3\frac{1}{2} \rightarrow \frac{7}{2} \); \( 5 \rightarrow \frac{5}{1} \).
Правило за деление: Делението е умножение с реципрочното на делителя. \( \frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \).
Смесени/цели числа: Винаги първо ги превръщай в неправилни дроби. \( 3\frac{1}{2} \rightarrow \frac{7}{2} \); \( 5 \rightarrow \frac{5}{1} \).
Две числа, чието произведение е 1, се наричат реципрочни. За да намерим реципрочното число на дадена дроб, разменяме местата на числителя и знаменателя ѝ.
За да намерим реципрочното на смесено или естествено число, първо го превръщаме в неправилна дроб.
- Реципрочното на \( \frac{2}{5} \) е \( \frac{5}{2} \), защото \( \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = 1 \).
- Реципрочното на \( 7 \) (което е \( \frac{7}{1} \)) е \( \frac{1}{7} \).
- Реципрочното на \( 1\frac{1}{3} \) (което е \( \frac{4}{3} \)) е \( \frac{3}{4} \).
Намерете реципрочното число на \( 2\frac{3}{4} \).
1. Превръщаме смесеното число в неправилна дроб: \( 2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4} \).
2. Намираме реципрочното, като обръщаме дробта: \( \frac{4}{11} \).
2. Намираме реципрочното, като обръщаме дробта: \( \frac{4}{11} \).
За да разделим една дроб на друга, умножаваме първата дроб (делимото) с реципрочното число на втората дроб (делителя).
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]
\(b, c, d \neq 0\)
Делението \( \frac{4}{5} : \frac{5}{6} \) се извършва така:
\[ \frac{4}{5} : \frac{5}{6} = \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25} \]
Извършете делението \( \frac{3}{8} : \frac{2}{7} \).
Умножаваме делимото \( \frac{3}{8} \) с реципрочното на делителя \( \frac{7}{2} \):
\[ \frac{3}{8} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3 \cdot 7}{8 \cdot 2} = \frac{21}{16} = 1\frac{5}{16} \]
Превърнете всички смесени или естествени числа в неправилни дроби.
Приложете правилото за деление на дроби (умножение с реципрочното на делителя).
Ако е възможно, съкратете и представете резултата като смесено число.
Деление на смесени числа:
\[ 3\frac{1}{3} : 2\frac{1}{2} = \frac{10}{3} : \frac{5}{2} = \frac{10}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \]
Деление с естествено число:
\[ 4\frac{1}{3} : 5 = \frac{13}{3} : \frac{5}{1} = \frac{13}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{13}{15} \]
Изчислете \( 7 : 2\frac{1}{3} \).
1. Превръщаме числата в неправилни дроби: \( 7 = \frac{7}{1} \) и \( 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} \).
2. Делим: \( \frac{7}{1} : \frac{7}{3} = \frac{7}{1} \cdot \frac{3}{7} \).
3. Съкращаваме седмиците: \( \frac{\cancel{7}}{1} \cdot \frac{3}{\cancel{7}} = \frac{3}{1} = 3 \).
2. Делим: \( \frac{7}{1} : \frac{7}{3} = \frac{7}{1} \cdot \frac{3}{7} \).
3. Съкращаваме седмиците: \( \frac{\cancel{7}}{1} \cdot \frac{3}{\cancel{7}} = \frac{3}{1} = 3 \).
Задачи за упражнение
Лесна: Извършете делението \( \frac{7}{8} : \frac{3}{4} \).
\[ \frac{7}{8} : \frac{3}{4} = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{7 \cdot \cancel{4}^1}{\cancel{8}_2 \cdot 3} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \]
Средна: Разделете \( 5\frac{1}{4} \) на \( \frac{3}{8} \).
Първо, превръщаме \( 5\frac{1}{4} \) в неправилна дроб: \( \frac{21}{4} \).
\[ \frac{21}{4} : \frac{3}{8} = \frac{21}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{\cancel{21}^7}{\cancel{4}_1} \cdot \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{3}_1} = \frac{7 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 14 \]
Трудна: Пресметнете \( 3\frac{3}{5} : 1\frac{4}{5} \) и направете проверка.
Превръщаме смесените числа в неправилни дроби:
\[ 3\frac{3}{5} = \frac{18}{5} \quad \text{и} \quad 1\frac{4}{5} = \frac{9}{5} \]
Извършваме делението:
\[ \frac{18}{5} : \frac{9}{5} = \frac{18}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{\cancel{18}^2}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{9}_1} = 2 \]
Проверка: \( 2 \cdot 1\frac{4}{5} = 2 \cdot \frac{9}{5} = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} \). Решението е вярно.
