34. Разместително И Съдружително Свойство На Действието Събиране

а) \( \displaystyle \frac{9}{19} + \frac{2}{19} + \frac{10}{19} \)

Стъпка 1: Групиране и събиране на дробите с еднакъв знаменател

Дробите имат общ знаменател \( 19 \). Прилагаме съдружителното свойство за по-лесно събиране: \[ \displaystyle \frac{9}{19} + \frac{2}{19} + \frac{10}{19} = \left(\frac{9}{19} + \frac{10}{19}\right) + \frac{2}{19} \] \[ \displaystyle = \frac{9 + 10}{19} + \frac{2}{19} = \frac{19}{19} + \frac{2}{19} = 1 + \frac{2}{19} = 1\frac{2}{19} \]

б) \( \displaystyle \frac{3}{5} + \frac{4}{10} + \frac{2}{5} \)

Стъпка 1: Групиране на дробите с еднакви знаменатели

Прилагаме разместителното и съдружителното свойство, за да съберем първо дробите със знаменател \( 5 \): \[ \displaystyle \left(\frac{3}{5} + \frac{2}{5}\right) + \frac{4}{10} = \frac{3 + 2}{5} + \frac{4}{10} = \frac{5}{5} + \frac{4}{10} = 1 + \frac{4}{10} \]

Стъпка 2: Съкращаване на дробта

Съкращаваме дробта \( \displaystyle \frac{4}{10} \) на \( 2 \): \[ \displaystyle \frac{\cancel{4}^2}{\cancel{10}_5} = \frac{2}{5} \] \[ \displaystyle 1 + \frac{2}{5} = 1\frac{2}{5} \]

в) \( \displaystyle \frac{7}{21} + \frac{1}{6} + \frac{2}{6} \)

Стъпка 1: Съкращаване и събиране на дробите с еднакъв знаменател

Първо съкращаваме дробта \( \displaystyle \frac{7}{21} \) на \( 7 \): \[ \displaystyle \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{21}_3} = \frac{1}{3} \] Събираме дробите със знаменател \( 6 \): \[ \displaystyle \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1 + 2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{6}_2} = \frac{1}{2} \]

Стъпка 2: Привеждане към най-малък общ знаменател (НОЗ)

Търсим \( \text{НОЗ}(3, 2) = \text{НОК}(3, 2) = 6 \). Допълнителният множител за \( \displaystyle \frac{1}{3} \) е \( 2 \), а за \( \displaystyle \frac{1}{2} \) е \( 3 \): \[ \displaystyle \underbrace{\frac{\overset{\overset{2}{\smile}}{1}}{3} + \frac{\overset{\overset{3}{\smile}}{1}}{2}}_{6} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6} \]

г) \( \displaystyle \frac{3}{24} + \frac{6}{16} + \frac{9}{12} \)

Стъпка 1: Съкращаване на всяка от дробите

Съкращаваме дробите до несъкратими: \[ \displaystyle \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{24}_8} = \frac{1}{8} \] \[ \displaystyle \frac{\cancel{6}^3}{\cancel{16}_8} = \frac{3}{8} \] \[ \displaystyle \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{12}_4} = \frac{3}{4} \]

Стъпка 2: Събиране на дробите

Събираме дробите с еднакъв знаменател \( 8 \): \[ \displaystyle \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1 + 3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{8}_2} = \frac{1}{2} \] Сега събираме \( \displaystyle \frac{1}{2} \) и \( \displaystyle \frac{3}{4} \) с \( \text{НОЗ} = 4 \): \[ \displaystyle \underbrace{\frac{\overset{\overset{2}{\smile}}{1}}{2} + \frac{\overset{\overset{1}{\smile}}{3}}{4}}_{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} \]

а)

\[ \displaystyle \frac{9}{19} + \frac{2}{19} + \frac{10}{19} = \frac{19}{19} + \frac{2}{19} = 1\frac{2}{19} \]

б)

\[ \displaystyle \frac{3}{5} + \frac{4}{10} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = 1\frac{2}{5} \]

в)

\[ \displaystyle \frac{7}{21} + \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6} \]

г)

\[ \displaystyle \frac{3}{24} + \frac{6}{16} + \frac{9}{12} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} \]