Процент. Основни Задачи. Упражнение

Най-важното от урока

Ключови изводи:

За да намерим процент от число: умножаваме числото по процента (записан като десетична дроб).
Пример: 20% от 50 = \(0,20 \cdot 50 = 10\).
За да намерим число по даден процент: делим известната част на процента.
Пример: Ако 10 е 20% от х, то \(x = 10 : 0,20 = 50\).
При последователни промени: винаги изчислявайте процента от новата стойност, получена след предишната стъпка, а не от началната.

Процентът е друг начин за записване на дроб със знаменател 100. Всяко число може да се представи по три начина.

Обикновен дроб	Десетичен дроб	Процент
\( \frac{1}{10} \)	0,1	10%
\( \frac{1}{50} \)	0,02	2%
\( \frac{3}{10} \)	0,3	30%
\( \frac{100}{100} \)	1	100%

Съществуват три основни вида задачи, които се решават чрез зависимостите между част, цяло и процент.

Намиране на процент от число
Търсим частта \(x\), ако знаем цялото \(A\) и процента \(p\%\).

\[ x = p\% \cdot A = \frac{p}{100} \cdot A \]

Пример: Населението на град е 25 000. Прирастът е 2,5%. Колко души е прирастът?
\(x = 0,025 \cdot 25\,000 = 625\) души.

Намиране на число по даден процент от него
Търсим цялото \(x\), ако знаем частта \(A\), която отговаря на \(p\%\).

\[ A \text{ е } p\% \text{ от } x \implies x = \frac{A}{p\%} = \frac{A}{0,01 \cdot p} \]

Пример: Прирастът е 1000 души и представлява 1,25% от населението. Колко е цялото население?
\(x = \frac{1000}{0,0125} = 80\,000\) души.

Намиране на процентно отношение
Търсим колко процента е числото \(A\) от числото \(B\).

\[ x\% = \frac{A}{B} \cdot 100 \]

Пример: Населението е 2000, а прирастът е 200. Какъв процент е прирастът?
\(x = \frac{200}{2000} = \frac{1}{10} = 10\%\).

Когато една стойност се променя последователно с проценти, всяка следваща промяна се изчислява спрямо новата (получената), а не спрямо първоначалната стойност.

Задача: Стока струва 100 лв. Цената се увеличава с 10%, а след това новата цена се увеличава пак с 10%.

Първо увеличение: \(100 + 10\% \text{ от } 100 = 110\) лв.
Второ увеличение: \(110 + 10\% \text{ от } 110 = 110 + 11 = 121\) лв.

Общото увеличение е 21 лв., което е 21%, а не 20%.

Диаграма, показваща стъпаловидно увеличение: 100 лв -> (+10%) -> 110 лв -> (+10%) -> 121 лв. Илюстрира, че основата за втория процент е по-голяма.

Ако едно число се увеличи с \(p\%\), а след това резултатът се намали със същия \(p\%\), крайното число ще бъде по-малко от първоначалното.

Задачи за упражнение

Задача 1 (Лесна): Котка тежи 4,8 kg, а тигър тежи 264 kg. Какъв процент е масата на котката от тази на тигъра?

Използваме правилото за намиране на процентно отношение (част делено на цяло): \[ \frac{4,8}{264} \approx 0,01818... \] За по-точно изчисление може да се представи като дроб: \[ \frac{4,8}{264} = \frac{48}{2640} = \frac{1}{55} \] В приблизителни проценти: \( \frac{4,8}{264} \cdot 100 \approx 1,82\% \).

Задача 2 (Средна): При сушене на ябълки се губят 84% от масата на пресните плодове. Колко килограма пресни плодове трябва да изсуши бабата на Мария, за да има за коледния ошав 400 g сушени ябълки?

1. Ако се губят 84%, то остават \(100\% - 84\% = 16\%\) от първоначалната маса.
2. Знаем, че 16% от търсеното количество \(x\) са равни на 400 g. \[ 0,16 \cdot x = 400 \] \[ x = 400 : 0,16 \] \[ x = 2500 \text{ g} = 2,5 \text{ kg} \] Отговор: Трябват 2,5 kg пресни ябълки.

Задача 3 (Трудна): Числото 64 е увеличено с 10%, а след това полученият резултат е намален с 10%. Кое число се е получило накрая? Равно ли е то на първоначалното?

Нека проследим промените последователно:
1. Увеличение с 10%: \[ 10\% \text{ от } 64 = 6,4 \] \[ \text{Ново число} = 64 + 6,4 = 70,4 \]
2. Намаляване с 10% (на новото число): \[ 10\% \text{ от } 70,4 = 7,04 \] \[ \text{Краен резултат} = 70,4 - 7,04 = 63,36 \]
Отговор: Получило се е числото 63,36. То не е равно на първоначалното (64), а е по-малко.