25. Привеждане На Обикновени Дроби Към Общ/Най-Малък Общ Знаменател

а) \(\displaystyle \frac{5}{6}\) и \(\displaystyle \frac{7}{18}\)

1. Намиране на най-малък общ знаменател (НОЗ)

Знаменателите са \(6\) и \(18\). Намираме \(\text{НОК}(6, 18)\): \[ \begin{array}{ll|l} 6 & 18 & 2 \\ 3 & 9 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & \\ \end{array} \] \[ \text{НОК}(6, 18) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18 \] Следователно \(\text{НОЗ} = 18\).

2. Определяне на допълнителните множители

\[ 18 : 6 = 3 \] \[ 18 : 18 = 1 \]

3. Разширяване на дробите

\[ \underbrace{\frac{\overset{\overset{3}{\smile}}{5}}{6} \text{ и } \frac{\overset{\overset{1}{\smile}}{7}}{18}}_{18} \rightarrow \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18} \text{ и } \frac{7 \cdot 1}{18 \cdot 1} = \frac{7}{18} \]

б) \(\displaystyle \frac{4}{3}\) и \(\displaystyle \frac{7}{12}\)

1. Намиране на най-малък общ знаменател (НОЗ)

Знаменателите са \(3\) и \(12\). Намираме \(\text{НОК}(3, 12)\): \[ \begin{array}{ll|l} 3 & 12 & 2 \\ 3 & 6 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & \\ \end{array} \] \[ \text{НОК}(3, 12) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 \] Следователно \(\text{НОЗ} = 12\).

2. Определяне на допълнителните множители

\[ 12 : 3 = 4 \] \[ 12 : 12 = 1 \]

3. Разширяване на дробите

\[ \underbrace{\frac{\overset{\overset{4}{\smile}}{4}}{3} \text{ и } \frac{\overset{\overset{1}{\smile}}{7}}{12}}_{12} \rightarrow \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{16}{12} \text{ и } \frac{7 \cdot 1}{12 \cdot 1} = \frac{7}{12} \]

в) \(\displaystyle \frac{1}{3}, \frac{2}{5}\) и \(\displaystyle \frac{4}{5}\)

1. Намиране на най-малък общ знаменател (НОЗ)

Знаменателите са \(3\), \(5\) и \(5\). Намираме \(\text{НОК}(3, 5)\): \[ \begin{array}{ll|l} 3 & 5 & 3 \\ 1 & 5 & 5 \\ 1 & 1 & \\ \end{array} \] \[ \text{НОК}(3, 5) = 3 \cdot 5 = 15 \] Следователно \(\text{НОЗ} = 15\).

2. Определяне на допълнителните множители

\[ 15 : 3 = 5 \] \[ 15 : 5 = 3 \] \[ 15 : 5 = 3 \]

3. Разширяване на дробите

\[ \underbrace{\frac{\overset{\overset{5}{\smile}}{1}}{3}, \frac{\overset{\overset{3}{\smile}}{2}}{5} \text{ и } \frac{\overset{\overset{3}{\smile}}{4}}{5}}_{15} \rightarrow \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}, \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} \text{ и } \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15} \]

г) \(\displaystyle \frac{1}{4}, \frac{3}{2}\) и \(\displaystyle \frac{5}{8}\)

1. Намиране на най-малък общ знаменател (НОЗ)

Знаменателите са \(4\), \(2\) и \(8\). Намираме \(\text{НОК}(4, 2, 8)\): \[ \begin{array}{lll|l} 4 & 2 & 8 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & \\ \end{array} \] \[ \text{НОК}(4, 2, 8) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \] Следователно \(\text{НОЗ} = 8\).

2. Определяне на допълнителните множители

\[ 8 : 4 = 2 \] \[ 8 : 2 = 4 \] \[ 8 : 8 = 1 \]

3. Разширяване на дробите

\[ \underbrace{\frac{\overset{\overset{2}{\smile}}{1}}{4}, \frac{\overset{\overset{4}{\smile}}{3}}{2} \text{ и } \frac{\overset{\overset{1}{\smile}}{5}}{8}}_{8} \rightarrow \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}, \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} \text{ и } \frac{5 \cdot 1}{8 \cdot 1} = \frac{5}{8} \]

д) \(\displaystyle \frac{2}{7}, \frac{3}{14}\) и \(\displaystyle \frac{5}{35}\)

1. Съкращаване на дробите до несъкратим вид

Забелязваме, че дробта \(\displaystyle \frac{5}{35}\) може да бъде съкратена на \(5\): \[ \frac{5}{35} = \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{35}_7} = \frac{1}{7} \] Търсим общ знаменател за дробите \(\displaystyle \frac{2}{7}, \frac{3}{14}\) и \(\displaystyle \frac{1}{7}\).

2. Намиране на най-малък общ знаменател (НОЗ)

Знаменателите са \(7\) и \(14\). Намираме \(\text{НОК}(7, 14)\): \[ \begin{array}{ll|l} 7 & 14 & 2 \\ 7 & 7 & 7 \\ 1 & 1 & \\ \end{array} \] \[ \text{НОК}(7, 14) = 2 \cdot 7 = 14 \] Следователно \(\text{НОЗ} = 14\).

3. Определяне на допълнителните множители

\[ 14 : 7 = 2 \] \[ 14 : 14 = 1 \] \[ 14 : 7 = 2 \]

4. Разширяване на дробите

\[ \underbrace{\frac{\overset{\overset{2}{\smile}}{2}}{7}, \frac{\overset{\overset{1}{\smile}}{3}}{14} \text{ и } \frac{\overset{\overset{2}{\smile}}{1}}{7}}_{14} \rightarrow \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{4}{14}, \frac{3 \cdot 1}{14 \cdot 1} = \frac{3}{14} \text{ и } \frac{1 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{2}{14} \]

е) \(\displaystyle 3, \frac{5}{12}\) и \(\displaystyle \frac{7}{60}\)

1. Представяне на цялото число като дроб

\[ 3 = \frac{3}{1} \]

2. Намиране на най-малък общ знаменател (НОЗ)

Знаменателите са \(1\), \(12\) и \(60\). Намираме \(\text{НОК}(12, 60)\): \[ \begin{array}{ll|l} 12 & 60 & 2 \\ 6 & 30 & 2 \\ 3 & 15 & 3 \\ 1 & 5 & 5 \\ 1 & 1 & \\ \end{array} \] \[ \text{НОК}(12, 60) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \] Следователно \(\text{НОЗ} = 60\).

3. Определяне на допълнителните множители

\[ 60 : 1 = 60 \] \[ 60 : 12 = 5 \] \[ 60 : 60 = 1 \]

4. Разширяване на дробите

\[ \underbrace{\frac{\overset{\overset{60}{\smile}}{3}}{1}, \frac{\overset{\overset{5}{\smile}}{5}}{12} \text{ и } \frac{\overset{\overset{1}{\smile}}{7}}{60}}_{60} \rightarrow \frac{3 \cdot 60}{1 \cdot 60} = \frac{180}{60}, \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60} \text{ и } \frac{7 \cdot 1}{60 \cdot 1} = \frac{7}{60} \]

а)

\[ \text{НОЗ} = 18 \rightarrow \frac{15}{18} \text{ и } \frac{7}{18} \]

б)

\[ \text{НОЗ} = 12 \rightarrow \frac{16}{12} \text{ и } \frac{7}{12} \]

в)

\[ \text{НОЗ} = 15 \rightarrow \frac{5}{15}, \frac{6}{15} \text{ и } \frac{12}{15} \]

г)

\[ \text{НОЗ} = 8 \rightarrow \frac{2}{8}, \frac{12}{8} \text{ и } \frac{5}{8} \]

д)

\[ \frac{5}{35} = \frac{1}{7} \rightarrow \text{НОЗ} = 14 \rightarrow \frac{4}{14}, \frac{3}{14} \text{ и } \frac{2}{14} \]

е)

\[ 3 = \frac{3}{1} \rightarrow \text{НОЗ} = 60 \rightarrow \frac{180}{60}, \frac{25}{60} \text{ и } \frac{7}{60} \]