Най-важното от урока
Разместително свойство: Можеш да разменяш местата на множителите. \( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \).
Съдружително свойство: Можеш да групираш множителите както ти е удобно. \( (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}) \).
Умножение на смесени числа: Първо ги превърни в неправилни дроби. \( 1\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \).
Рационално пресмятане: Пренареди множителите, за да си улесниш сметките, например като умножиш реципрочни числа първо. \( (\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}) \cdot \frac{3}{7} = 1 \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7} \).
Съдружително свойство: Можеш да групираш множителите както ти е удобно. \( (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}) \).
Умножение на смесени числа: Първо ги превърни в неправилни дроби. \( 1\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \).
Рационално пресмятане: Пренареди множителите, за да си улесниш сметките, например като умножиш реципрочни числа първо. \( (\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}) \cdot \frac{3}{7} = 1 \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7} \).
Свойствата на умножението позволяват да променяме реда и групирането на множителите, без това да променя крайния резултат.
Разместително свойство (комутативност): Редът на множителите не променя произведението.
\[ a \cdot b = b \cdot a \]Съдружително свойство (асоциативност): Можем да групираме множителите по различен начин.
\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c \]
Използвайки свойствата, можем да умножим няколко дроби наведнъж, като съкращаваме числители със знаменатели, независимо от позицията им.
\( \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} = \frac{4 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{6}}{\cancel{5} \cdot \cancel{6} \cdot 7} = \frac{4}{7} \)
\( \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} = \frac{4 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{6}}{\cancel{5} \cdot \cancel{6} \cdot 7} = \frac{4}{7} \)
Пресметнете \( \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} \). Равно ли е на \( \frac{5}{7} \cdot \frac{2}{3} \)?
Да, и в двата случая произведението е \( \frac{10}{21} \). Това илюстрира разместителното свойство.
Смесени числа се умножават, като първо се превърнат в неправилни дроби и след това се умножат получените дроби.
\( 7\frac{1}{7} \cdot 2\frac{1}{10} = \frac{50}{7} \cdot \frac{21}{10} = \frac{\cancel{50}^5 \cdot \cancel{21}^3}{\cancel{7}_1 \cdot \cancel{10}_1} = 5 \cdot 3 = 15 \)
Пресметнете произведението \( 1\frac{2}{3} \cdot 4\frac{1}{5} \).
\( 1\frac{2}{3} \cdot 4\frac{1}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{21}{5} = \frac{\cancel{5}_1 \cdot \cancel{21}^7}{\cancel{3}_1 \cdot \cancel{5}_1} = 7 \)
Използвайте разместителното и съдружителното свойство, за да разместите и групирате множителите така, че сметките да станат по-лесни.
Особено полезно е да се групират реципрочни числа (напр. \( \frac{a}{b} \) и \( \frac{b}{a} \)), защото тяхното произведение е винаги 1.
Пример: \( \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7} = 1 \)
Пример: \( \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7} = 1 \)
За да пресметнем \( \frac{5}{9} \cdot \frac{13}{16} \cdot \frac{9}{20} \cdot \frac{8}{39} \), групираме удобно:
\( (\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{20}) \cdot (\frac{13}{16} \cdot \frac{8}{39}) = \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{9}_1} \cdot \frac{\cancel{9}^1}{\cancel{20}_4} \cdot \frac{\cancel{13}^1}{\cancel{16}_2} \cdot \frac{\cancel{8}^1}{\cancel{39}_3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{24} \)
\( (\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{20}) \cdot (\frac{13}{16} \cdot \frac{8}{39}) = \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{9}_1} \cdot \frac{\cancel{9}^1}{\cancel{20}_4} \cdot \frac{\cancel{13}^1}{\cancel{16}_2} \cdot \frac{\cancel{8}^1}{\cancel{39}_3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{24} \)
Пресметнете рационално \( \frac{3}{8} \cdot \frac{7}{15} \cdot \frac{8}{3} \).
Групираме реципрочните дроби:
\( (\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}) \cdot \frac{7}{15} = 1 \cdot \frac{7}{15} = \frac{7}{15} \)
\( (\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}) \cdot \frac{7}{15} = 1 \cdot \frac{7}{15} = \frac{7}{15} \)
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \( \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \).
\( \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{\cancel{4}^1 \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{9}_3 \cdot \cancel{8}_2} = \frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6} \)
Средна: Умножете смесените числа \( 2\frac{1}{4} \cdot 1\frac{7}{9} \).
\( 2\frac{1}{4} \cdot 1\frac{7}{9} = \frac{9}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{\cancel{9}^1 \cdot \cancel{16}^4}{\cancel{4}_1 \cdot \cancel{9}_1} = 4 \)
Трудна: Пресметнете рационално \( 4\frac{1}{5} \cdot 2\frac{6}{7} \cdot \frac{3}{4} \).
Първо превръщаме в неправилни дроби:
\( \frac{21}{5} \cdot \frac{20}{7} \cdot \frac{3}{4} \)
Групираме първите две дроби, защото се съкращават лесно:
\( (\frac{21}{5} \cdot \frac{20}{7}) \cdot \frac{3}{4} = (\frac{\cancel{21}^3 \cdot \cancel{20}^4}{\cancel{5}_1 \cdot \cancel{7}_1}) \cdot \frac{3}{4} = (3 \cdot 4) \cdot \frac{3}{4} = 12 \cdot \frac{3}{4} = \frac{12 \cdot 3}{4} = 9 \)
\( \frac{21}{5} \cdot \frac{20}{7} \cdot \frac{3}{4} \)
Групираме първите две дроби, защото се съкращават лесно:
\( (\frac{21}{5} \cdot \frac{20}{7}) \cdot \frac{3}{4} = (\frac{\cancel{21}^3 \cdot \cancel{20}^4}{\cancel{5}_1 \cdot \cancel{7}_1}) \cdot \frac{3}{4} = (3 \cdot 4) \cdot \frac{3}{4} = 12 \cdot \frac{3}{4} = \frac{12 \cdot 3}{4} = 9 \)
