Най-важното от урока
Привеждане към НОЗ: Замяна на дроби с равни на тях, но с еднакъв знаменател.
Най-малък общ знаменател (НОЗ) = НОК на знаменателите.
Стъпки: 1. Намираме НОК на знаменателите → НОЗ. 2. Намираме доп. множители (НОЗ : знаменател). 3. Разширяваме дробите.
Пример: \( \frac{1}{4}, \frac{5}{6} \). НОК(4,6)=12. \( \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} \); \( \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12} \).
Съвет: Първо съкращавай, после привеждай!
Най-малък общ знаменател (НОЗ) = НОК на знаменателите.
Стъпки: 1. Намираме НОК на знаменателите → НОЗ. 2. Намираме доп. множители (НОЗ : знаменател). 3. Разширяваме дробите.
Пример: \( \frac{1}{4}, \frac{5}{6} \). НОК(4,6)=12. \( \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} \); \( \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12} \).
Съвет: Първо съкращавай, после привеждай!
Процесът, при който заменяме две или повече дроби с равни на тях дроби, които имат еднакви знаменатели.
Най-малкият общ знаменател (НОЗ) на няколко дроби е Най-малкото общо кратно (НОК) на техните знаменатели.
Дробите \( \frac{1}{2} \) и \( \frac{1}{3} \) имат различни знаменатели. Можем да ги приведем към общ знаменател 6 (тъй като НОК(2, 3) = 6):
\( \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} \)
\( \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} \)
Дробите \( \frac{3}{6} \) и \( \frac{2}{6} \) са приведени към общ знаменател.
\( \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} \)
\( \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} \)
Дробите \( \frac{3}{6} \) и \( \frac{2}{6} \) са приведени към общ знаменател.
Кой е най-малкият общ знаменател за дробите \( \frac{2}{5} \) и \( \frac{3}{4} \)?
Търсим НОК(5, 4). Тъй като числата 5 и 4 са взаимно прости, НОК(5, 4) = 5 · 4 = 20.
Отговор: Най-малкият общ знаменател е 20.
Отговор: Най-малкият общ знаменател е 20.
Намираме най-малкото общо кратно (НОК) на всички знаменатели. Това е нашият най-малък общ знаменател (НОЗ).
Намираме допълнителния множител за всяка дроб, като разделим НОЗ на знаменателя на съответната дроб.
Разширяваме всяка дроб, като умножим числителя и знаменателя ѝ със съответния допълнителен множител.
Да приведем дробите \( \frac{5}{6} \) и \( \frac{3}{8} \) към НОЗ.
1. НОК: Знаменателите са 6 и 8. НОК(6, 8) = 24. Значи НОЗ = 24.
2. Допълнителни множители:
За \( \frac{5}{6} \to 24 : 6 = 4 \).
За \( \frac{3}{8} \to 24 : 8 = 3 \).
3. Разширяване:
\( \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24} \)
\( \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} \)
1. НОК: Знаменателите са 6 и 8. НОК(6, 8) = 24. Значи НОЗ = 24.
2. Допълнителни множители:
За \( \frac{5}{6} \to 24 : 6 = 4 \).
За \( \frac{3}{8} \to 24 : 8 = 3 \).
3. Разширяване:
\( \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24} \)
\( \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} \)
Приведете дробите \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{4}{5} \) към най-малък общ знаменател.
НОК(3, 5) = 15.
Допълнителен множител за \( \frac{2}{3} \) е 15:3=5.
Допълнителен множител за \( \frac{4}{5} \) е 15:5=3.
\( \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} \); \( \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15} \)
Допълнителен множител за \( \frac{2}{3} \) е 15:3=5.
Допълнителен множител за \( \frac{4}{5} \) е 15:5=3.
\( \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} \); \( \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15} \)
Ако знаменателят на една от дробите е кратно на знаменателите на другите, то той е и най-малкият общ знаменател.
Да приведем дробите \( \frac{3}{4} \) и \( \frac{5}{12} \).
Тъй като 12 се дели на 4 (\(12 = 4 \cdot 3\)), то НОК(4, 12) = 12.
Нужно е да разширим само първата дроб. Допълнителният множител е \(12 : 4 = 3\).
\( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} \).
Дробите стават \( \frac{9}{12} \) и \( \frac{5}{12} \).
Тъй като 12 се дели на 4 (\(12 = 4 \cdot 3\)), то НОК(4, 12) = 12.
Нужно е да разширим само първата дроб. Допълнителният множител е \(12 : 4 = 3\).
\( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} \).
Дробите стават \( \frac{9}{12} \) и \( \frac{5}{12} \).
Приведете дробите \( \frac{2}{5} \) и \( \frac{7}{10} \) към най-малък общ знаменател.
НОЗ е 10. Разширяваме само \( \frac{2}{5} \) с множител 2 (\(10:5=2\)).
\( \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} \). Дробите са \( \frac{4}{10} \) и \( \frac{7}{10} \).
\( \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} \). Дробите са \( \frac{4}{10} \) и \( \frac{7}{10} \).
Преди да приведете дроби към общ знаменател, винаги проверявайте дали някоя от тях може да бъде съкратена. Това улеснява изчисленията.
Да приведем дробите \( \frac{6}{10} \) и \( \frac{9}{12} \).
1. Съкращаваме:
\( \frac{6}{10} = \frac{6:2}{10:2} = \frac{3}{5} \)
\( \frac{9}{12} = \frac{9:3}{12:3} = \frac{3}{4} \)
2. Привеждаме съкратените дроби \( \frac{3}{5} \) и \( \frac{3}{4} \):
НОЗ е НОК(5, 4) = 20.
\( \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20} \); \( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20} \)
1. Съкращаваме:
\( \frac{6}{10} = \frac{6:2}{10:2} = \frac{3}{5} \)
\( \frac{9}{12} = \frac{9:3}{12:3} = \frac{3}{4} \)
2. Привеждаме съкратените дроби \( \frac{3}{5} \) и \( \frac{3}{4} \):
НОЗ е НОК(5, 4) = 20.
\( \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20} \); \( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20} \)
Съкратете и приведете към най-малък общ знаменател дробите \( \frac{4}{6} \) и \( \frac{10}{15} \).
Съкращаваме: \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) и \( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \).
След съкращаване се оказва, че дробите са равни и вече са с еднакъв знаменател.
След съкращаване се оказва, че дробите са равни и вече са с еднакъв знаменател.
Задачи за упражнение
Лесна: Приведете дробите \( \frac{1}{7} \) и \( \frac{2}{5} \) към най-малък общ знаменател.
НОК(7, 5) = 35.
\( \frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{5}{35} \)
\( \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{14}{35} \)
\( \frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{5}{35} \)
\( \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{14}{35} \)
Средна: Приведете дробите \( \frac{3}{4}, \frac{5}{6} \) и \( \frac{7}{8} \) към най-малък общ знаменател.
НОК(4, 6, 8) = 24.
Допълнителни множители: \(24:4=6\); \(24:6=4\); \(24:8=3\).
\( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{18}{24} \)
\( \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24} \)
\( \frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24} \)
Допълнителни множители: \(24:4=6\); \(24:6=4\); \(24:8=3\).
\( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{18}{24} \)
\( \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24} \)
\( \frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24} \)
Трудна: Съкратете, ако е възможно, и след това приведете дробите \( \frac{12}{18}, \frac{20}{25} \) и \( \frac{7}{9} \) към най-малък общ знаменател.
1. Съкращаване:
\( \frac{12}{18} = \frac{12:6}{18:6} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{20}{25} = \frac{20:5}{25:5} = \frac{4}{5} \)
\( \frac{7}{9} \) е несъкратима.
2. Привеждане на \( \frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{7}{9} \):
НОК(3, 5, 9) = 45.
\( \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 15}{3 \cdot 15} = \frac{30}{45} \)
\( \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{36}{45} \)
\( \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{35}{45} \)
\( \frac{12}{18} = \frac{12:6}{18:6} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{20}{25} = \frac{20:5}{25:5} = \frac{4}{5} \)
\( \frac{7}{9} \) е несъкратима.
2. Привеждане на \( \frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{7}{9} \):
НОК(3, 5, 9) = 45.
\( \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 15}{3 \cdot 15} = \frac{30}{45} \)
\( \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{36}{45} \)
\( \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{35}{45} \)
