Най-важното от урока
Съкращаване: Делим числителя и знаменателя на общ делител. Пример: \( \frac{8}{12} = \frac{8:4}{12:4} = \frac{2}{3} \).
Несъкратима дроб: Дроб, която не може повече да се съкрати. Пример: \( \frac{2}{3} \).
Най-бърз начин: Намираме НОД на числителя и знаменателя и делим на него. Пример: НОД(8, 12)=4.
Трик с нули: Ако числата завършват на нули, махаме равен брой нули от двете. Пример: \( \frac{200}{700} = \frac{2}{7} \).
Несъкратима дроб: Дроб, която не може повече да се съкрати. Пример: \( \frac{2}{3} \).
Най-бърз начин: Намираме НОД на числителя и знаменателя и делим на него. Пример: НОД(8, 12)=4.
Трик с нули: Ако числата завършват на нули, махаме равен брой нули от двете. Пример: \( \frac{200}{700} = \frac{2}{7} \).
Съкращаване на дроб означава да разделим числителя и знаменателя ѝ на едно и също число (техен общ делител), различно от 1. Стойността на дробта не се променя.
\[ \frac{a}{b} = \frac{a:m}{b:m} \]
където \(m\) е общ делител на \(a\) и \(b\).
Да съкратим дробта \( \frac{12}{20} \) с числото 4.
\[ \frac{12}{20} = \frac{12:4}{20:4} = \frac{3}{5} \]
Съкратете дробта \( \frac{18}{24} \) с числото 6.
Отговор: \( \frac{18}{24} = \frac{18:6}{24:6} = \frac{3}{4} \)
Дроб, чийто числител и знаменател нямат общ делител освен 1, се нарича несъкратима дроб.
Целта на съкращаването е да се превърне една съкратима дроб в несъкратима.
Дробта \( \frac{24}{42} \) е съкратима. След съкращаване с 6 тя става \( \frac{4}{7} \), която е несъкратима, защото 4 и 7 нямат общи делители.
Несъкратима ли е дробта \( \frac{9}{16} \)?
Отговор: Да, несъкратима е. Делителите на 9 са 1, 3, 9. Делителите на 16 са 1, 2, 4, 8, 16. Единственият им общ делител е 1.
Делим числителя и знаменателя на малки общи делители (например 2, 3, 5), докато дробта стане несъкратима.
\[ \frac{24}{42} \xrightarrow{:2} \frac{12}{21} \xrightarrow{:3} \frac{4}{7} \]
Намираме най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя и съкращаваме дробта на него. Това е най-бързият начин да получим несъкратима дроб.
За дробта \( \frac{24}{42} \):
\( 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \)
\( 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \)
НОД(24, 42) = \( 2 \cdot 3 = 6 \). \[ \frac{24}{42} = \frac{24:6}{42:6} = \frac{4}{7} \]
\( 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \)
\( 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \)
НОД(24, 42) = \( 2 \cdot 3 = 6 \). \[ \frac{24}{42} = \frac{24:6}{42:6} = \frac{4}{7} \]
Разлагаме числителя и знаменателя на прости множители и "унищожаваме" (съкращаваме) еднаквите.
\[ \frac{66}{231} = \frac{2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{11}}{\cancel{3} \cdot 7 \cdot \cancel{11}} = \frac{2}{7} \]
Задачи за упражнение
Лесна: Съкратете дробта \( \frac{30}{50} \).
Можем да съкратим на 10 (да махнем нулите).
\[ \frac{30}{50} = \frac{3\cancel{0}}{5\cancel{0}} = \frac{3}{5} \]
Средна: Превърнете \( \frac{75}{105} \) в несъкратима дроб.
I начин (последователно): Забелязваме, че и двете числа се делят на 5.
\[ \frac{75}{105} = \frac{75:5}{105:5} = \frac{15}{21} \]
Сега забелязваме, че 15 и 21 се делят на 3.
\[ \frac{15}{21} = \frac{15:3}{21:3} = \frac{5}{7} \]
II начин (с НОД): НОД(75, 105) = 15.
\[ \frac{75}{105} = \frac{75:15}{105:15} = \frac{5}{7} \]
Трудна: Като разложите числителя и знаменателя на прости множители, съкратете дробта \( \frac{180}{396} \).
Разлагаме на прости множители:
\( 180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \)
\( 396 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 \)
Записваме и съкращаваме: \[ \frac{180}{396} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{3} \cdot 5}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{3} \cdot 11} = \frac{5}{11} \]
\( 180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \)
\( 396 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 \)
Записваме и съкращаваме: \[ \frac{180}{396} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{3} \cdot 5}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{3} \cdot 11} = \frac{5}{11} \]
